Úlohy pro Matematické metody pro fyzikální chemii (ZRUŠENO)

Platí pro rok 2015/2016.
Není-li podzim 2015, nezapisujte se a řekněte mi, abych loňské studenty smazal.

Zápočet a zkouška z předmětu Matematické metody pro fyzikální chemii bude udělen za

Zápočtový test s hodnocením alespoň 50 %
Projekt z numerické matematiky

Projekt z numerické matematiky si vyberte z níže uvedených témat. Po domluvě lze zpracovat i téma vlastní (viz Úlohy dle vlastního návrhu).

Úlohu rozbalíte kliknutím na název. Pokud se Vám bude líbit, zapište si ji pomocí tlačítka pod úlohou.

Řešení může být odevzdáno v jakékoliv formě: v Maple (s dostatečným množstvím komentářů), v PDF, písemně (ale čitelně!) na papíře, vyryté do břidlicové destičky aj.

# Název Zadání

801 Numerický výpočet derivace I
Odvoďte vzorec čtvrtého řádu pro numerický výpočet první derivace ve tvaru

f'(x) = [ (a f(x−3h/2) + b f(x−h/2) + c f(x+h/2) + d f(x+3h/2) ]/h + O(h⁴)

Srovnejte se standardním vzorcem a otestujte.

802 Numerický výpočet druhé derivace
Odvoďte vzorec druhého řádu pro numerický výpočet druhé derivace ve tvaru

f''(x) = [ (a f(x−3h/2) + b f(x−h/2) + c f(x+h/2) + d f(x+3h/2) ]/h² + O(h²)
kde |a|=|d| a |b|=|c|.
Srovnejte se standardním vzorcem a otestujte.

803 Numerický výpočet derivace II
Odvoďte vzorec čtvrtého řádu pro numerický výpočet první derivace ve tvaru

f'(x) = { a [f(x+h) − f(x−h)] + b [f(x+ch) − f(x−ch)] }/h + O(h⁴)
kde |a|=|b|.
Srovnejte se standardním vzorcem a otestujte.

804 Aproximace funkce I
Uvažujte funkci

f(x) = cosh(√x) pro x≥0
f(x) = cos(√−x) pro x<0

Ukažte, že funkce je analytická v bodě x=0, a najděte její Taylorův rozvoj.

Aproximujte funkci v intervalu [−π², π²] pomocí Čebyševových polynomů s přesností lepší než 10⁻⁷

805 Aproximace funkce II
Aproximujte funkci arctan x v intervalu [−1, 1]

pomocí Čebyševových polynomů řádu n = 7,

interpolačním polynomem stejného řádu procházejícím n+1 body (x_i, arctan(x_i)), i=0..n, kde

x_i = 2i/n − 1,

x_i = (2i+1)/(n+1) − 1,

x_i = sin(½π[2i/n − 1]),

x_i = sin(½π[(2i+1)/(n+1) − 1]).

Vypočtěte maximální chyby aproximací a stanovte, která aproximace je nejpřesnější ve smyslu maximální odchylky.

806 Eulerova metoda
Řešte rovnici y'=−y, y(0)=1 Eulerovou metodou s tím, že v každém kroku k pravé straně přidáte náhodné číslo s Gaussovým rozdělením se střední hodnotou 0 a směrodatnou odchylkou 10⁻⁴ (tím budete modelovat zaokrouhlovací chyby). Stanovte závislost chyby řešení na kroku h

807 Průtok kapaliny trojúhelníkovou trubicí
Trubicí o průřezu rovnostranného trojúhelníka (plocha A) protéká newtonovská kapalina. Průtok je roven I = C A²dp/dz / η, kde dp/dz je tlakový gradient a η je viskozita. Stanovte konstantu C.

808 Průtok kapaliny šestiúhelníkovou trubicí
Trubicí o průřezu pravidelného šestiúhelníka (plocha A) protéká newtonovská kapalina. Průtok je roven I = C A²dp/dz / η, kde dp/dz je tlakový gradient a η je viskozita. Stanovte konstantu C.

#	Název	Zadání
801	Numerický výpočet derivace I	Odvoďte vzorec čtvrtého řádu pro numerický výpočet první derivace ve tvaru f'(x) = [ (a f(x−3h/2) + b f(x−h/2) + c f(x+h/2) + d f(x+3h/2) ]/h + O(h⁴) Srovnejte se standardním vzorcem a otestujte.
802	Numerický výpočet druhé derivace	Odvoďte vzorec druhého řádu pro numerický výpočet druhé derivace ve tvaru f''(x) = [ (a f(x−3h/2) + b f(x−h/2) + c f(x+h/2) + d f(x+3h/2) ]/h² + O(h²) kde \|a\|=\|d\| a \|b\|=\|c\|. Srovnejte se standardním vzorcem a otestujte.
803	Numerický výpočet derivace II	Odvoďte vzorec čtvrtého řádu pro numerický výpočet první derivace ve tvaru f'(x) = { a [f(x+h) − f(x−h)] + b [f(x+ch) − f(x−ch)] }/h + O(h⁴) kde \|a\|=\|b\|. Srovnejte se standardním vzorcem a otestujte.
804	Aproximace funkce I	Uvažujte funkci f(x) = cosh(√x) pro x≥0 f(x) = cos(√−x) pro x<0 Ukažte, že funkce je analytická v bodě x=0, a najděte její Taylorův rozvoj. Aproximujte funkci v intervalu [−π², π²] pomocí Čebyševových polynomů s přesností lepší než 10⁻⁷
805	Aproximace funkce II	Aproximujte funkci arctan x v intervalu [−1, 1] pomocí Čebyševových polynomů řádu n = 7, interpolačním polynomem stejného řádu procházejícím n+1 body (x_i, arctan(x_i)), i=0..n, kde x_i = 2i/n − 1, x_i = (2i+1)/(n+1) − 1, x_i = sin(½π[2i/n − 1]), x_i = sin(½π[(2i+1)/(n+1) − 1]). Vypočtěte maximální chyby aproximací a stanovte, která aproximace je nejpřesnější ve smyslu maximální odchylky.
806	Eulerova metoda	Řešte rovnici y'=−y, y(0)=1 Eulerovou metodou s tím, že v každém kroku k pravé straně přidáte náhodné číslo s Gaussovým rozdělením se střední hodnotou 0 a směrodatnou odchylkou 10⁻⁴ (tím budete modelovat zaokrouhlovací chyby). Stanovte závislost chyby řešení na kroku h
807	Průtok kapaliny trojúhelníkovou trubicí	Trubicí o průřezu rovnostranného trojúhelníka (plocha A) protéká newtonovská kapalina. Průtok je roven I = C A²dp/dz / η, kde dp/dz je tlakový gradient a η je viskozita. Stanovte konstantu C.
808	Průtok kapaliny šestiúhelníkovou trubicí	Trubicí o průřezu pravidelného šestiúhelníka (plocha A) protéká newtonovská kapalina. Průtok je roven I = C A²dp/dz / η, kde dp/dz je tlakový gradient a η je viskozita. Stanovte konstantu C.