<<FourierSeries`

Cvičení 3: Fourierova transformace

Vypočtěte Fourierovu transformaci    δ(t)

FourierTransform[DiracDelta[t],t,v, FourierParameters -> {0, 2 π}]

Vypočtěte Fourierovu transformaci   k "obdélníkové" funkci

Definice "obdélníkové funkce"

r[t_,T_]=Piecewise[{{1,Abs[t]≤T},{0,Abs[t]>T}}]

Graf "obdélníkové funkce"

Plot[r[t,2],{t,-4,4},PlotStyle->Thickness[0.01],
PlotRange->{-0.5,1.5}]

Fourierova transformace "obdélníkové funkce". Nejdříve použijeme vestavěnou funkci.

R[v_,T_]=Simplify[FourierTransform[r[t,T],t,v,FourierParameters->{0,2 π}]]

Nyní si Fourierovu transformaci vypočteme sami.

Integrate[Exp[-2 Pi I v t],{t,-T,T}]

Graf spektra k  "obdélníkové funkci"

Plot[R[v,2],{v,-2,2},PlotRange->{-1,4}]

Vypočtěte Fourierovu transformaci   k  funkci f(t)=1

FourierTransform[1,t,v, FourierParameters -> {0, 2 π}]

Vypočtěte Fourierovu transformaci   k  "trojúhelníkové" funkci

Definice "trojúhelníkové funkce"

a[t_,T_]=Piecewise[{{1-Abs[t]/T,Abs[t]<=T}},0]

Graf "trojúhelníkové funkce"

Plot[a[t,2],{t,-4,4},PlotStyle->Thickness[0.01],PlotRange->{-0.5,1.5}]

Fourierova transformace "trojúhelníkové funkce", pomocí vestavě

A[v_,T_]=Simplify[ComplexExpand[FourierTransform[a[t,T],t,v, FourierParameters -> {0, 2 π}]]]

Fourierova transformace "trojúhelníkové funkce", pomocí definice

Integrate[(1+t/T) Exp[-2 Pi I v t],{t,-T,0}]+
    Integrate[(1-t/T) Exp[-2 Pi I t v],{t,0,T}]

Výsledek musíme upravit

ComplexExpand[%]

Simplify[%,Trig->True]

Graf spektra k  "trojúhelníkové funkci"

Plot[A[v,2.0],{v,-2,2},PlotRange->{-1,4}]