Integrály

Vypočítejme některé složitější neurčité integraly

, nakresleme graf fce f(x) a primitivní funkce F(x) na intervalu (-2,1)

In[1]:=

Out[1]=

In[2]:=

Out[2]=

Funkce není definovaná pro x=-2,1,2

In[3]:=

Out[3]=

In[4]:=

Out[4]=

, nakresleme graf fce f(x) a primitivní funkce F(x) na intervalu (-6,6)

In[5]:=

Out[5]=

In[6]:=

Out[6]=

Funkce je definovaná na celém R

In[7]:=

Out[7]=

In[8]:=

Out[8]=

, nakresleme graf fce f(x) a primitivní funkce F(x) na intervalu (-6,6)

In[9]:=

Out[9]=

Funkce je definovaná na celém R

In[10]:=

Out[10]=

In[11]:=

Out[11]=

Vypočítejme plochu obrazce

Vypočtěme plochu obrazce ohraničeného grafem funkce y=x+sin(x), přímkou x=3π a osou x.

In[12]:=

Out[12]=

Nakreslíme si obrazec.

In[13]:=

Out[13]=

Vypočteme obsah pomocí integrálu

In[14]:=

Out[14]=

In[15]:=

Out[15]=

Plocha obrazce je P = = 46,4132

Vypočtěme plochu obrazce ohraničeného grafem funkce a osou x.

In[16]:=

Out[16]=

Nejdříve najdeme průsečíky grafu s osou x.

In[17]:=

Out[17]=

Nakreslíme si obrazec.

In[18]:=

Out[18]=

Vypočteme obsah pomocí integrálu (využijeme symetrie) P =2

In[19]:=

Out[19]=

Plocha obrazce je P = 2.

Vypočtěme plochu obrazce ohraničeného grafem funkce y=x-x ln(1+x) , přímkou x=- a osou x.

In[20]:=

Out[20]=

Nejdříve najdeme průsečíky grafu s osou x.

In[21]:=

Out[21]=

Nakreslíme si obrazec.

In[22]:=

Out[22]=

Vypočteme obsah pomocí integrálu P =- +

In[23]:=

Out[23]=

In[24]:=

Out[24]=

In[25]:=

Out[25]=

Plocha obrazce je P = .

Vypočtěme plochu obrazce ohraničeného grafy funkcí , y = .

In[26]:=

Out[26]=

Out[27]=

Nejdříve najdeme průsečíky grafů.

In[28]:=

Out[28]=

Nakreslíme si obrazec.

In[29]:=

Out[29]=

Vypočteme obsah pomocí integrálu (využijeme symetrie) P =2

In[30]:=

Out[30]=

In[31]:=

Out[31]=

In[32]:=

Out[32]=

Plocha obrazce je P = .

Vypočítejme délku křivky (parametricky zadaná křivka)

Vypočtěme délku křivky x=2( t - t sin t)
y=2(1 - cos t), t ∈ <0,2 π> ,

In[33]:=

Out[33]=

Out[34]=

Nakreslíme si křivku.

In[35]:=

Out[35]=

In[36]:=

Out[36]=

Out[37]=

Vypočteme délku pomocí integrálu

In[38]:=

Out[38]=

Out[108]=

Out[38]=

Výpočet neurčitého integrálu.

In[39]:=

Out[39]=

Výpočet délky křivk.

In[40]:=

Out[40]=

Délka křivky je l = 16.

Hmotný bod se pohybuje po dráze dané rovnicemi
x= 1 + sin 2 t
y=-1 + 3 sin t ,
Vypočítejte dráhu, kterou urazí hmotný bod od okamžiku =0 do okamžiku =π.

In[41]:=

Out[41]=

Out[42]=

Nakreslíme si křivku.

In[43]:=

Out[43]=

In[44]:=

Out[44]=

Out[45]=

Vypočteme délku pomocí integrálu

In[46]:=

Out[46]=

Out[116]=

Out[46]=

Výpočet neurčitého integrálu.

In[47]:=

Out[117]=

Výpočet délky křivk.

In[118]:=

Out[118]=

In[119]:=

Out[119]=

Délka křivky je l = .

Vypočítejme délku křivky, která je grafem funkce

Vypočtěme délku křivky, která je grafem funkce y=, x ∈ <0, 1> ,

In[120]:=

Out[120]=

Nakreslíme si graf.

In[121]:=

Out[121]=

In[122]:=

Out[122]=

Vypočteme délku pomocí integrálu

In[123]:=

Out[123]=

Out[53]=

Výpočet neurčitého integrálu.

In[124]:=

Out[124]=

Výpočet délky křivky.

In[125]:=

Out[125]=

In[126]:=

Out[126]=

Délka křivky je l = .

Vypočítejme objem rotačního tělesa

Vypočtěme objem tělesa, které vznikne rotací plochy ohraničené grafem funkce y=sin x, x ∈ <0, π> a osy x kolem osy x.

In[127]:=

Out[127]=

Nakreslíme si plochu.

In[128]:=

Out[128]=

Vypočteme objem pomocí integrálu

Výpočet objemu.

In[129]:=

Out[129]=

Objem rotačního telesa je V = .

Vypočtěme objem tělesa, které vznikne rotací plochy ohraničené grafem funkce y=, x ∈ <-1,1> a osy x kolem osy x.

In[130]:=

Out[130]=

Nakreslíme si plochu.

In[131]:=

Out[131]=

Vypočteme objem pomocí integrálu

Výpočet objemu.

In[132]:=

Out[132]=

In[133]:=

Out[133]=

Objem rotačního telesa je V = 2.43733.

Vypočtěme objem tělesa, které vznikne rotací plochy ohraničené grafem funkce y= tg x, x ∈ <0, > a osy x kolem osy x.

In[134]:=

Out[134]=

Nakreslíme si plochu.

In[135]:=

Out[135]=

Vypočteme objem pomocí integrálu

Výpočet objemu.

In[136]:=

Out[136]=

In[137]:=

Out[137]=

Objem rotačního telesa je V = 0.674192.

Vypočtěme objem elipsoidu s osami a, b, a.

Jedná se o rotační těleso, kde rotuje plocha ohraničená půlelipsou a osou . Umístíme vhodně elipsu do souřadnicového systému.
Předpis pro funkci, jejíž grafem je půlelipsa je y = .