Symbolické výpočty - algebraické úpravy 

expand - roznásobí mnohočleny  a vrátí součet jednotlivých členů
factor - napíše výraz jako násobení nejmenších faktorů
simplify - zkusí najít nejjednodušší formu výrazu pomocí standardních alg. transformací  

>	v:=(x-2)^2*(1+x+2*y);

 

(1.1.1)

 

>	v1:=expand(v);

 

(1.1.2)

 

>	v2:=factor(v1);

 

(1.1.3)

 

>	factor(x^3+3*x^2+3*x+1);

 

(1.1.4)

 

>	simplify(sin(x)^2+cos(x)^2);

 

(1.1.5)

 

>	simplify(x^2-1);

 

(1.1.6)

 

>	factor(x^2-1);

 

(1.1.7)

 

>	v3:=expand(tan(x)*cos(2*x));

 

(1.1.8)

 

>	expand(cos(2*x));

 

(1.1.9)

 

>	v4:=factor(v3);

 

(1.1.10)

 

>	expand(sin(x+I*y));

 

(1.1.11)

 

Krácení zlomků 

>	normal((x + 1)/(x^2 - 1));

 

(1.2.1)

 

>	simplify((x + 1)/(x^2 - 1));

 

(1.2.2)

 

>	normal((x + 1)/(x^2 - 1) + x/(x*(x - 2)));

 

(1.2.3)

 

>	simplify((x + 1)/(x^2 - 1) + x/(x*(x - 2)));

 

(1.2.4)

 

Rozklad na parciální zlomky 

>	convert(2*(x^2 - 4)/(x^2 - 1),parfrac);

 

(1.3.1)

 

>	v:=(x^2 + y^2)/(x + x*y);

 

(1.3.2)

 

Nyní řekneme Maplu, že x je proměnná a ostatní symboly jsou parametry 

>	convert(v,parfrac,x);

 

(1.3.3)

 

y je proměnná a ostatní symboly jsou parametry 

>	convert(v,parfrac,y);

 

(1.3.4)

 

Funkce 

Tabulka elementárních finkcí:
                                   ln(x)        log(x)      log a (x)     

x^2      x^a    sqrt(x)   x^(1/n)    exp(x)    ln(x)      log10 (x)    log[a](x)    

sin(x)     cos(x)     tg(x)      cotg(x)      arcsin(x)     arccos(x)      arctg(x)        arccotg(x) 

sin(x)     cos(x)     tan(x)    cot(x)        arcsin(x)     arccos(x)      arctan(x)      arccot(x)

sinh(x)    cos h(x)     tgh(x)      cotgh(x)         |x|         sgn(x)     1/x
sinh(x)    cos h(x)    tanh(x)     coth(x)         abs(x)     sgn(x)     1/x 

Vlastní definice funkce f(x) 

>	f:=x->x^2+5*x-3;

 

(2.1.1)

 

>

f(1);

 

(2.1.2)

 

>

f(-5);

 

(2.1.3)

 

Vlastní definice funkce f(x)=x^2 je-li x<0 a x je-li x>=0 

>	v:=piecewise(x < 0,x^2,x>=0,x);

 

(2.1.4)

 

>	f:=x->piecewise(x < 0,x^2,x>=0,x);

 

(2.1.5)

 

>

f(-2);

 

(2.1.6)

 

>

f(0);

 

(2.1.7)

 

>

f(2);

 

(2.1.8)

 

Derivace 

první derivace f '(x) 

>	diff(x^n,x);

 

(2.2.1)

 

třetí derivace f '''(x) 

>	diff(x^n,x$3);

 

(2.2.2)

 

Parciální derivace funkce f(x,y) podle x 

>	diff(x^2+y^2,x);

 

(2.2.3)

 

Parciální derivace funkce f(x,y) podle y 

>	diff(x^2+y^2,y);

 

(2.2.4)

 

Jiná možnost derivace (máme-li definovanou funkci) 

>	f:=(x,y)->x^2+y^2;

 

(2.2.5)

 

Derivace podle první proměnné 

>	fx:=D[1](f);

 

(2.2.6)

 

Derivace podle druhé proměnné 

>	fz:=D[2](f);

 

(2.2.7)

 

Integrace 

Primitivní funkce 

>	int(x^n,x);

 

(2.3.1)

 

Příkaz s velkým začátečním písmenem vypíše pouze symbol integrálu (můžeme ho používat pro přehlednější zápis) 

>	Int(x^n,x)=int(x^n,x);

 

(2.3.2)

 

>	int(1/(x^4-a^4),x);

 

(2.3.3)

 

>	Int(1/(x^4-a^4),x)=int(1ralu/(x^4-a^4),x);

 

(2.3.4)

 

F je primitivní funkce zapsaná v Maple jako funkce 

>	F:=x->int(1/x,x);

 

(2.3.5)

 

>

F(x);

 

(2.3.6)

 

Pozor !!! Maple obecně počítá v komplexním obor, kde je definovaný logaritmus ze záporného čísla. Proto také předchozí výsledek není ln(|x|) 

>

ln(-1);

 

(2.3.7)

 

Určitý integrál z funkce  f(x) od a do b  

>	int(x^5,x=0..1);

 

(2.3.8)

 

>	Int(x^5,x=0..1)=int(x^5,x=0..1);

 

(2.3.9)

 

Nevlastní integrály 

1. integrál diverguje 

>	Int(1/x,x=0..1)=int(1/x,x=0..1);

 

(2.3.10)

 

>	Int(1/x,x=1..infinity)=int(1/x,x=1..infinity);

 

(2.3.11)

 

2. integrál konverguje 

>	Int(1/x^2,x=0..infinity)=int(1/x^2,x=1..infinity);

 

(2.3.12)

 

>	Int(x^n,x=0..1)=int(x^n,x=0..1);

 

(2.3.13)

 

>	assume(n>-1);

 

>	Int(x^n,x=0..1)=int(x^n,x=0..1);

 

(2.3.14)

 

>	assume(n<=-1);

 

>	Int(x^n,x=0..1)=int(x^n,x=0..1);

 

(2.3.15)

 

>

n:='n';

 

(2.3.16)

 

Někdy promitivní funkci Maple nevypočte (neznamená to, že neexistuje): 

>	int(x^x,x);

 

(2.3.17)

 

Suma 

Součet nekonečné řady: 

>	sum(1/2^n,n=1..infinity);

 

(2.4.1)

 

>	Sum(1/2^n,n=1..infinity)=sum(1/2^n,n=1..infinity);

 

(2.4.2)

 

>	Sum(1/n!,n=1..infinity)=sum(1/n!,n=1..infinity);

 

(2.4.3)

 

>	Sum(1/x^n,n=1..infinity)=sum(1/x^n,n=1..infinity);

 

(2.4.4)

 

Pozor !!!! Maple nám neřekne pro která x  součet platí. V tomto případě to plati pro |x|>1. Například si můžeme ukázat, že pro x=1/2 nebo  x = -1 řada diverguje. 

>	Sum(1/(1/2)^n,n=1..infinity)=sum(1/(1/2)^n,n=1..infinity);

 

(2.4.5)

 

>	Sum(1/(-1)^n,n=1..infinity)=sum(1/(-1)^n,n=1..infinity);

 

(2.4.6)

 

Maple nám neřekne, že diverguje, ale jednoduchou úvahou (sudé a liché částečné součty) zjistíme, že součet řady neexistuje. 

Limity 

 limita  f(x) když x se blíží k a 

>	limit(sin(x),x=0);

 

(2.5.1)

 

>	Limit(sin(x),x=0)=limit(sin(x),x=0);

 

(2.5.2)

 

>	Limit(1/x,x=0)=limit(1/x,x=0);

 

(2.5.3)

 

 limita  f(x) když x se blíží k a zprava 

>	Limit(1/x,x=0,right)=limit(1/x,x=0,right);

 

(2.5.4)

 

limita  f(x) když x se blíží k a zleva 

>	Limit(1/x,x=0,left)=limit(1/x,x=0,left);

 

(2.5.5)

 

Řešení alg. rovnic 

>	v:=solve(x^2+2*x-7=0,x);

 

(3.1.1)

 

>

evalf(v);

 

(3.1.2)

 

>	v1:=solve(x^2+a*x+b=0,x);

 

(3.1.3)

 

>	v2:=solve(x^6+1=0,x);

 

(3.1.4)

 

>	v3:=solve(x^5-2*x^3+x^2+3*x-1=0,x);

 

(3.1.5)

 

>	v4:=solve(Cos(x)=x,x);

 

(3.1.6)

 

V případě, že nelze najit řešení rovnice analiticky, je třeba použít numerické řešení (viz Numerická matematika) 

Řešení diferenciálních rovnic  

Obecné řešení 

>	dsolve(diff(y(x),x)=1+y(x),y(x));

 

(3.2.1)

 

Partikulární  řešení splňující počáteční podmínku 

>	dsolve({diff(y(x),x)=1+y(x),y(0)=1},y(x));

 

(3.2.2)

 

Obecné řešení 

>	dsolve(diff(y(x),x)=1/y(x),y(x));

 

(3.2.3)

 

Partikulární  řešení splňující počáteční podmínku 

>	res:=dsolve({diff(y(x),x)=1/y(x),y(0)=1},y(x));

 

(3.2.4)

 

>	plot(rhs(res),x=-0.5..1);

 

Pozor Maple nás neupozorní, že řešení není definované v bodě x=0.5 

Obecné řešení soustavy rovnic 

>	dsolve({diff(x(t),t)=-y(t),diff(y(t),t)=x(t)},{x(t),y(t)});

 

(3.2.5)

 

Partikulární  řešení splňující počáteční podmínku 

>	res1:=dsolve({diff(x(t),t)=-y(t),diff(y(t),t)=x(t),x(0)=1,y(0)=0},{x(t),y(t)});

 

(3.2.6)

 

Nakreslení integrální křivky (graf partikulárního řešení  x(t)) 

>	assign(res1);

 

>	plot(x(t),t=0..2*Pi);

 

Nakreslení integrální křivky (graf partikulárního řešení  y(t)) 

>	plot(y(t),t=0..2*Pi);

 

Nakreslení integrálních křivek do jednoho obrázku 

>	plot([x(t),y(t)],t=0..2*Pi);

 

Nakreslení trajektorie řešení (graf parametricky zadané křivky) 

>	plot([x(t),y(t),t=0..2*Pi]);

 

Grafy 2D 

Nejjednodušší vykreslení grafu. 

>	plot(sin(x),x=-2*Pi..2*Pi);

 

Teď použijeme různé volby (options). 

1. Rozsah osy y 

>	plot(sin(x),x=-2*Pi..2*Pi,y=-1.5..1.5);

 

2. Číselný popis osy x a y 

>	plot(sin(x),x=-2*Pi..2*Pi,y=-1.5..1.5,tickmarks=[[-6.28,0,6.28], [-1, 1]]);

 

3. Tloušťka čáry a titulek. 

>	plot(sin(x),x=-2*Pi..2*Pi,y=-1.5..1.5,thickness=3,title=`sin(x)`);

 

4. Grafy více funkcí do jednoho obrázku a barva grafu. 

>	plot([sin(x),cos(x)],x=-2*Pi..2*Pi,y=-1.5..1.5,thickness=3,color=[red,green]);

 

5. Pozor při kreslení grafu některých funkcí (nakreslí čáry navíc) 

>	plot(tan(x),x=-2*Pi..2*Pi);

 

>	plot(tan(x),x=-2*Pi..2*Pi,discont=true);

 

Parametrické grafy 2D 

>	plot([cos(x),sin(2*x),x=0..2*Pi]);

 

Zobrazení dat do grafu 

>	data:=[[0,1],[0.5,1.4],[1.0,2.0],[1.5,1.9],[2.0,1.5],[2.5,1.6],[3.0,2.0]];

 

(4.3.1)

 

>	plot(data);

 

>	plot(data,style=point);

 

Vrstevnice  funkce z=f(x,y) 

Pozor tento prikaz je součáetí balíku programů plots 

>	with(plots);

 

(4.4.1)

 

>	contourplot(sin(x)*sin(y),x=-2..2,y=-2..2);

 

Volba vrstevnic. 

>	contourplot(sin(x)*sin(y),x=-2..2,y=-2..2,contours=[-0.75,-0.5,-0.25,0,0.25,0.5,0.75]);

 

Grafy 3D 

Nejjednodušší vykreslení grafu. 

>	plot3d(sin(x)*sin(y),x=-2..2,y=-2..2);

 

Teď použijeme různé volby (options). 

1. Přidáme box 

>	plot3d(sin(x)*sin(y),x=-2..2,y=-2..2,axes=boxed);

 

2. Přidáme osy 

>	plot3d(sin(x)*sin(y),x=-2..2,y=-2..2,axes=normal);

 

>	plot3d(sin(x)*sin(y),x=-2..2,y=-2..2,axes=frame);

 

3. změna sítě 

>	plot3d(sin(x)*sin(y),x=-2..2,y=-2..2,axes=boxed,grid=[10,10]);

 

Parametrické grafy 3D 

Parametricky zadaná křivka v R3 

>	with(plots):

 

>	spacecurve([cos(t),sin(t),t/3],t=0..6*Pi,axes=boxed);

 

Parametricky zadaná plocha 

>	plot3d([cos(t)*sin(u),sin(t)*sin(u),cos(u)],t=0..2*Pi,u=0..Pi,axes=boxed);

 

Práce s vektory a maticemi 

Ukážeme si jednu z možností zadání vektoru a matice (existuje více možností) 

Vektor sloupcový 

>	v:=<1, 2 ,-1, 3>;

 

(5.1.1)

 

Vektor řádkový 

>	v1:=<1|2|-1|3>;

 

(5.1.2)

 

Matice zadaná po sloupcích 

>	A:=<<1,-1,2,1>|<-1,2,-1,1>|<1,5,0,-1>|<3,-4,4,0>>;

 

(5.1.3)

 

Matice zadaná po řádcích 

>	A:=<<1|-1|1|3>,<-1|2|5|-4>,<2|-1|0|4>,<1|1|-1|0>>;

 

(5.1.4)

 

Násobení  matice  vektorem 

>

A.v;

 

(5.1.5)

 

Násobení  matice maticí 

>

A.A;

 

(5.1.6)

 

Napojování matic 

>	a:=<<1,2>|<2,3>>;

 

(5.1.7)

 

>	b:=<<1,1>|<-1,0>>;

 

(5.1.8)

 

>	c:=<<1,3>|<3,1>>;

 

(5.1.9)

 

>	M:=<a,b,c>;

 

(5.1.10)

 

>	N:=<a|b|c>;

 

(5.1.11)

 

Vyrobení matice pomocí předpisu 

>	f:= (i,j) -> i/j:

 

>	T:=Matrix(4,4,f);

 

(5.1.12)

 

i-tý řádek matice 

>

T[1];

 

>

 

(5.1.13)

 

Prvek i,j matice 

>

T[1,3];

 

(5.1.14)

 

Následující příkazy jsou součásti balíku LinearAlgebra 

Transponovaná matice  

>	with(LinearAlgebra):

 

>	TT:=Transpose(T);

 

(5.1.15)

 

Inverzní matice 

>	A:=<<1, -1, 2>|<-1, 1, 0>|<1, 0, 1>>;

 

(5.1.16)

 

>	MatrixInverse(A);

 

(5.1.17)

 

>	MatrixInverse(T);

 

Error, (in MatrixInverse) singular matrix

 

Maple nás upozornil, že matice T je singulární 

Vlastní čísla matice A 

>	Eigenvalues(A);

 

(5.1.18)

 

Vlastní vektory matice A 

>	Eigenvectors(A);

 

(5.1.19)

 

Maple nám vrátí vlastní čísla (první složka) a vlastní vektory (druhá složka) 

Determinant matica A 

>	Determinant(A);

 

(5.1.20)

 

>	Determinant(T);

 

(5.1.21)

 

Jakobiho matice 

Jakobiho matice k zobrazení (r cos(t),r sin(t)) 

>

 

>	with(VectorCalculus):

 

>	Jacobian( [r*cos(t),r*sin(t)], [r,t] );

 

(5.2.1)

 

Rozklady matic 

Singulární rozklad (příkaz je součástí baliku LinearAlgebra) 

>

 

>	A:=<<1,1,3,2>|<2,0,-3,-3>|<-1,-1,0,-2>|<1,3,2,1>>;

 

(5.3.1)

 

>	U,S,Vt:=SingularValues(A,output=['U','S','Vt']):

 

>

U;

 

(5.3.2)

 

>

S;

 

(5.3.3)

 

>

Vt;

 

(5.3.4)

 

QR rozklad 

>	A:=<<1,1,1>|<2,6,0>|<-1,-1,1>>;

 

(5.3.5)

 

>	Q,R:=QRDecomposition(A):

 

>

Q;

 

(5.3.6)

 

>

R;

 

(5.3.7)

 

Vyčíslení výrazů, přesnost 

>	(Pi^2-4)/(Pi-2);

 

(6.1.1)

 

>	simplify(%);

 

(6.1.2)

 

>

evalf(%);

 

(6.1.3)

 

>	a:=sin(Pi/7);

 

(6.1.4)

 

>

evalf(a);

 

(6.1.5)

 

implicitně je přesnost 10 platných míst, nastavíme ji na 16. 

>	Digits:=16;

 

(6.1.6)

 

>

evalf(a);

 

(6.1.7)

 

vrátíme zase přesnost na 10 platných míst 

>	Digit:=10;

 

(6.1.8)

 

Metoda nejmenších čtverců 

>

restart;

 

>	data:=[[0,1],[1,2],[2,2.3],[3,2.8],[4,2.9],[5,3.5]];

 

(6.2.1)

 

>	plot(data,style=POINT);

 

>	data1:=convert(linalg[col](data,1),list);

 

(6.2.2)

 

>	data2:=convert(linalg[col](data,2),list);

 

(6.2.3)

 

Proložení přímkou 

>	with(stats):

 

>	r:=fit[leastsquare[[x,y]]]([data1,data2]);

 

(6.2.4)

 

>	fit[leastsquare[[x,y],y=a*x+b,{a,b}]]([data1,data2]);

 

(6.2.5)

 

>	plot(rhs(r),x=0..5);

 

Proložení parabolou 

>	r2:=fit[leastsquare[[x,y],y=a*x^2+b*x+c,{a,b,c}]]([data1,data2]);

 

(6.2.6)

 

>	plot(rhs(r2),x=0..5);

 

Vykreslení do jednoho obrazku 

>	g1:=plot(data,style=POINT):

 

>	g2:=plot(rhs(r),x=0..5):

 

>	g3:=plot(rhs(r2),x=0..5):

 

>	with(plots):

 

>	display(g1,g2,g3);

 

Interpolace 

>

data1;

 

(6.3.1)

 

>

data2;

 

(6.3.2)

 

>	y:=interp(data1,data2,x);

 

(6.3.3)

 

>	plot(y,x=0..5);

 

>	g4:=plot(y,x=0..5):

 

>	display(g1,g4);

 

Rychlá Fourierova transformace 

Musíme zavolat balík programů DiskreteTransforms 

>	with(DiscreteTransforms);

 

(6.4.1)

 

Vytvoření diskrétních dat 

>	f:=i->sin(36*Pi*i/256);

 

(6.4.2)

 

>	dt:=1./256;

 

(6.4.3)

 

>

T:=1.0;

 

(6.4.4)

 

>	data:=evalf(Vector(256,f));

 

(6.4.5)

 

Vykraslení diskrétních dat 

>	pdata:=[seq([(i-1)*dt,evalf(f(i))],i=1..256)]:

 

>	plot(pdata);

 

Rychlá Fourierova transformace 

>	fdata:=FourierTransform(data);

 

(6.4.6)

 

>

dv:=1/T;

 

(6.4.7)

 

Vykreslení dat diskrétní Fourierovy transformace 

>	pfdata:=[seq([dv*(i-1),abs(fdata[i])],i=1..256)]:

 

>	plot(pfdata);

 

>	plot(pfdata,10..30);

 

Puvodní data mají frekvenci 18 Hz. 

Numerická integrace 

>	Int(x^x,x=0..1)=int(x^x,x=0..1);

 

(6.5.1)

 

Maple neumí vypočítat integrál analyticky, vypočteme ho pomocí numerické integrace 

>	Int(x^x,x=0..1)=evalf(Int(x^x,x=0..1));

 

(6.5.2)

 

Použití různých metod. 

Počítáme s přesností 14 platných míst. 14 míst je přesnost počítače ne numerické metody 

>	Int(x^x,x=0..1)=evalf[14](Int(x^x,x=0..1,method = _Gquad));

 

(6.5.3)

 

>	Int(x^x,x=0..1)=evalf[14](Int(x^x,x=0..1,method = _NCrule));

 

(6.5.4)

 

>	Int(x^x,x=0..1)=evalf[14](Int(x^x,x=0..1,method = _d01ajc));

 

(6.5.5)

 

Zkusíme teď příklad, pro který umíme určit přesné řešení. 

Přesné řešení 

>	Int(x^4,x=0..1)=int(x^4,x=0..2);

 

(6.5.6)

 

>	vp:=evalf[30](32/5);

 

(6.5.7)

 

Numerické řešení 

>	vn:=evalf[30](Int(x^4,x=0..2,method = _Gquad));

 

(6.5.8)

 

>	vn:=evalf[30](Int(x^4,x=0..2,method = _NCrule));

 

(6.5.9)

 

Pokud Maple umí vypočítat přesné řešení, nikdy nepočíta numerické řešení (ať zvolíte jakoukoliv metodu) vždy vypočte přesné řešení a numericky ho vyjádří. 

>	chyba:=vp-vn;

 

(6.5.10)

 

Numerická suma, součin 

Přesný výpočet sumy. 

>	Sum(1/n^2,n=1..infinity)=sum(1/n^2,n=1..infinity);

 

(6.6.1)

 

Někdy  Maple neumí  přesný součet vypočítat. 

>	Sum(1/(n^3+n!),n=1..infinity)=sum(1/(n^3+n!),n=1..infinity);

 

(6.6.2)

 

Přibližný výpočet sumy. 

>	Sum(1/(n^3+n!),n=1..infinity)=evalf(sum(1/(n^3+n!),n=1..infinity));

 

(6.6.3)

 

Přesný výpočet součinu. 

>	Product(1/n,n=1..10)=product(1/n,n=1..10);

 

(6.6.4)

 

Přibližné vvjádření výsledku. 

>	Product(1/n,n=1..10)=evalf[30](product(1/n,n=1..10));

 

(6.6.5)

 

Numerické řešení polynomiálních rovnic 

>	solve(x^7+x+1=0,x);

 

(6.7.1)

 

>	evalf(solve(x^7+x+1=0,x));

 

(6.7.2)

 

Numerické řešení  rovnic iterační metodou 

Nutno zadat počáteční iteraci 

>	fsolve(cos(x)=x,x=0);

 

(6.8.1)

 

Někdy má rovnice víc řešení 

>	fsolve(3*sin(x)=x,x=0);

 

(6.8.2)

 

>	fsolve(3*sin(x)=x,x=3);

 

(6.8.3)

 

>	fsolve(3*sin(x)=x,x=-3);

 

(6.8.4)

 

Numerické řešení  differenciálních rovnic  

Numericky řešíme pouze partikulární řešení 

Nejdříve analytické řešení a jeho graf 

>

 

>	r:=dsolve({diff(y(x),x)=y(x),y(0)=1},y(x));

 

(6.9.1)

 

>	plot(rhs(r),x=0..2);

 

Teď numerické řešení a jeho graf 

>	rn:=dsolve({diff(y(x),x)=y(x),y(0)=1},y(x),numeric);

 

(6.9.2)

 

>

 

>

 

>

 

Příkaz odeplot nelze použít v Maple classic (při ukládání souboru Maple skončí chybou) 

Ukázka použití některých voleb (options). Volba rozsahu pro nezávisle proměnnou 

>

 

(6.9.3)

 

>

 

(6.9.4)

 

Volba metody 

>

 

(6.9.5)

 

>

 

(6.9.6)

 

>

 

Error, (in rn) cannot evaluate the solution past 0.72952958e-1, step size < hmin, problem may be singular or error tolerance may be too small

 

Změna minimálního kroku (lze jen u některých metod) 

>

 

(6.9.7)

 

>

 

(6.9.8)

 

Porovnání numerické hodnoty a přesné hodnoty 

>

 

(6.9.9)

 

>

 

(6.9.10)

 

>

 

(6.9.11)

 

>

 

(6.9.12)

 

>

 

(6.9.13)

 

Numerické řešení soustavy diferenciálních rovnic, graf jednotlivých řešení 

>

 

(6.9.14)

 

>

 

>

 

Graf jednotlivých řešení do jednoho grafu 

>

 

Zobrazení trajektorie 

>

 

Optimalizace, lineární programování 

>	with(Optimization);

 

(6.10.1)

 

>

 

(6.10.2)

 

>

 

(6.10.3)

 

LPSolve minimizuje lineární finkci za určitých lineárních podmínek 

>

 

(6.10.4)

 

>