13.1.2 Rozdělovací funkce

Jaký tvar má diferenciální rozdělovací funkce pro polydisperzní systém, jehož integrální rozdělovací funkce dána vztahem

$displaymath$

kde poloměr částic r je vyjádřen v metrech, a = 2^.10⁶ m⁻¹, b = 2,1^.10⁶ m⁻¹. Vypočítejte poloměr částic, kterých je v systému nejvíce.

↓

a) F(r) = (4,2^.10¹² r+10⁵) exp (−2,1^.10⁶ r),
b) r_max = 4,52^.10⁻⁷ m.

Diferenciální distribuční funkci získáme derivací integrální distribuční funkce

$displaymath$

Pak hledáme hodnotu r = r_max, při které má funkce F(r) maximum, tzn. je nutné řešit rovnici

$displaymath$

Zadaná integrální distribuční funkce

> Ir:=1-(1+a*r)*(exp(-b*r));

Diferenciální distribuční funkce se získá derivací I(r)

> Fr:=(diff(Ir,r));

Úprava předešlého vztahu

> Fr:=collect(Fr,exp(-b*r));

Řešení pro nulovou hodnotu první derivace

> rmax:=solve(diff(Fr,r)=0,r);

Zadání známých dat

> a:=2e6; b:=2.1e6;

Výsledky

> Fr;

> rmax;

Grafy funkcí

> plot(Fr,r=0..5e-6);

> plot(Ir,r=0..5e-6);

>

Kontrola (Fr musí být normovaná)

> int(Fr,r=0..infinity);