Spojité dynamické systémy

Při vyšetřování kvalitativního chování matematických modelů můžete využít skripta VŠCHT:
A. Klíč, M. Dubcová, L. Buřič: Soustavy obyčejných diferenciálních rovnic, Kvalitativní teorie, Dynamické systémy. VŠCHT Praha, 2009

Numerické výpočty jsme prováděli v prostředí systémů Mathematica, Maple a Matlab. Využili jsme vestavěné funkce pro numerické řešení diferenciálních rovnic, které většinou používají Runge-Kuttovy metody. Více o numerickém řešení diferenciálních rovnic najde čtenář ve skriptech VŠCHT: M. Kubíček, M. Dubcová, D. Janovská: Numerické metody a algoritmy, VŠCHT Praha, 2005.
Je třeba si dávat pozor na správnost numerického řešení. Ne vždy se numerické řešení shoduje s kvalitativním řešením diferenciálních rovnic (viz Matlab - model Bělousov-Žabotinský). Například uzavřená trajektorie se v numerickém řešení může jevit jako neuzavřená trajektorie. Numerické řešení nám nemusí jednoduše nalézt periodické řešení našeho problému.

Interaktivní programy v systému Mathematica   Interaktivní programy v systému Maple - ukázka   Interaktivní programy v systému Matlab - ukázka  
Wolfram Mathematica   Maple   Maple  

Program vykresluje vektorová pole, trajektorie a integrální křivky pro všechny uvedené modely.
V programu můžete interaktivně měnit parametry a počáteční podmínky (pokliknutím myší na vektorové pole). Program pracuje správně ve verzi Mathematica10. V nižších verzích můžete mít problémy.
V případě, že nemáte nainstalovaný program Mathematica nebo program CDFPlayer (ke stažení zde) můžete si aplikaci prohlédnout v PDF souboru.
Kromě toho si můžete stáhnout zdrojový soubor a notebook systému Mathematica k prezentovaným programům DynamickeSystemyMath.zip.
Soubor obsahuje:

  • DynamickeSystemy.m - package pro sw. Mathematica
  • DynamickeSystemy.nb - interaktivní program v sw. Mathematica, kde můžete interaktivně měnit parametry a počáteční podmínky (kliknutím na grafu).
  • DynamickeSystemyProg.nb zdrojové programy.
  

Ukázka výstupu programu, který vykresluje vektorová pole, trajektorie a integrální křivky pro všechny uvedené modely.
V programu můžete interaktivně měnit parametry a počáteční podmínky.
Chcete-li s programem interaktivně pracovat a máte nainstaovaný Maple18 stáhněte si následující soubor DynamickeSystemyMaple.zip
Soubor obsahuje:

  • DynamickeSystemy.mw - zde můžete interaktivně měnit parametry a počáteční podmínky
  • DynamickeSystemyMaple.m - soubor, který potřebujete k spuštění všech aplikací
  • DynamickeSystemyProgramy.mw - obsahuje zdrojové texty programů
  

Zde jsme využili program pplane8 vyvinutý na Ústavu matematiky RICE UNIVERSITY, Huston, USA.
Program umožnuje kreslit vektorová pole, fázové portréty, nulklíny, fázové portráty zlinearizováných soustav, integrální křivky apod.
Máte-li nainstalovaný Matlab můžete si stáhnout program pplane.m a soubory s jednotlivými dynamickými systémy
DynamickéSystemyMatlab.zip
Soubor obsahuje

  • pplane8.m - program pro Matlab
  • Chemostat.pps - soubor s popisem DS chemostat
  • BZ.pps - soubor s popisem DS Bělousov-Žabotinský
  • Sch.pps - soubor s popisem DS Schnakenbergův model
  • SIR.pps - soubor s popisem DS SIR-model
  • SIRS.pps - soubor s popisem DS SIRS-model