4.1.16 Tepelný stroj
Pracovní látka tepelného stroje, který pracuje ve vratném Carnotově cyklu mezi teplotami 25 °C a 500 °C, je dusík. Vypočítejte účinnost tohoto stroje, práci vykonanou jednotkovým látkovým množstvím plynu za jeden cyklus, teplo odebrané horkému zásobníku a teplo předané chladnějšímu, jestliže víte, že maximální a minimální tlak v systému během děje má hodnotu 1 MPa a 0,01 MPa. Určete rovněž absolutní hodnotu molární entropie plynu v uzlových bodech cyklu. Předpokládejte, že dusík se řídí stavovou rovnicí ideálního plynu. Jeho tepelná kapacita C°Vm = 20,785 J mol−1 K−1nezávisí na teplotě. Absolutní entropie dusíku při teplotě 298,15 K za tlaku 0,101325 MPa je 191,5 J mol−1 K−1.
↓
↓
↓
↓
↓
↓
↓
↓
↓
↓
↓
↓
↓
Výsledek
ηmax = 0,614 p2 = 0,2808 MPa Q2 = 8164 J
p4 = 0,03561 MPa Q1 = −3148 J
ΔSm1 = 8,69 J K−1mol−1 Sm1 = 200,19 J K−1mol−1
ΔSm2 = 10,56 J K−1mol−1 Sm2 = 210,75 J K−1mol−1
Sm3 = 210,75 J K−1mol−1
ΔSm4 = −10,56 J K−1mol−1 Sm2 = 200,19 J K−1mol−1
Řešení
a) Účinnost tepelného stroje
představuje maximální podíl tepla, které může stroj pracující mezi dvěma lázněmi o teplotě T1 a T2 (T2 > T1) přeměnit na práci. V daném případě je to 61,4 % přijatého tepla.
b) Z tabulky 4.1 je zřejmé, že pro celý cyklus platí
takže práce vykonaná strojem v jednom cyklu
je rovna součtu všech tepel přijatých soustavou.
Teplo přijaté z teplejší lázně
Tlak p2, který nebyl zadán, lze snadno určit z Poissonovy rovnice pro vratnou adiabatu 2 → 3 (viz obrázek; značení na obrázku odpovídá značení v uvedené tabulce). Pro koeficient κ platí
a tedy
Odtud vyplývá p2 = 28,08 . p3 = 28,08 . 0,01 = 0,2808 MPa. Z této hodnoty tlaku dostaneme
Teplo odevzdané chladnější lázni
Tlak p4 určíme opět z Poissonovy rovnice, tentokrát pro vratnou adiabatu 4 → 1
a odtud p4 = p1/28,08 = 1/28,08 = 0,03561 MPa. Pro teplo Q1 pak dostaneme
c) Absolutní entropii dusíku v bodě 1 (T2 = 773,15 K; p1 = 1 MPa) určíme na základě zadané entropie dusíku při teplotě Tst = 298,15 K a tlaku p° = 0,101325 MPa.
Stavové změně jednotkového látkového množství dusíku
odpovídá podle rovn. (4.8) následující vztah:
Hodnota absolutní entropie dusíku v bodě 1 tedy vyplývá z rovnice
Absolutní entropii dusíku v bodě 2 (T2 = 773,15 K; p2 = 0,2808 MPa) získáme analogicky
a
Následující děj 2 → 3 (vratná adiabatická expanze) probíhá beze změny entropie (viz obrázek), takže absolutní entropie dusíku v bodě 3 (T1 = 298,15 K; 0,01 MPa) je Sm(T1,p3) = 210,75 J mol−1 K−1.
Entropii v bodě 4 (T1 = 298,15 K; p4 = 0,03561 MPa) určíme podobně jako v bodě 2 z rovnice (4.8)
Výsledná hodnota je shodná s entropií dusíku v bodě 1, což odpovídá nejen skutečnosti, že děj 4 → 1 je opět adiabatický, ale i tomu, že změna entropie systému při cyklickém ději je nulová.