2.1.12 Aplikace koeficientu roztažnosti a stlačitelnosti
Změna objemu s teplotou a tlakem je pro plyny, kapaliny i tuhé
látky často vyjádřena koeficientem roztažnosti αp a
koeficientem stlačitelnosti κT. Vypočítejte:
a) αp a κT pro ideální plyn při 25 °C a tlaku 101,3 kPa,
b) při jakém tlaku by ideální plyn měl stejnou stlačitelnost jako
kapalný benzen za normálního tlaku,
c) hustotu kapalného benzenu za tlaku 10 MPa při teplotě 25 °C s použitím dále uvedených dat.
Data: hustota benzenu při 25 °C a tlaku 0,1 MPa v kapalném
stavu ϱ(l) = 0,8734 g/cm3, koeficient
stlačitelnosti κT = 9,8 . 10−10 Pa−1
(předpokládejte, že v uvažovaném tlakovém rozmezí nezávisí na
tlaku).
↓
↓
↓
↓
↓
↓
↓
↓
↓
↓
↓
↓
↓
Výsledek
a) αp = 3,354 . 10−3 K−1 a
κT = 9,870 MPa−1
b) p = 1,020 . 103 MPa
c) ϱ2 = 0,8819 g/cm3
Postup
Řešení
a) Izobarický koeficient objemové roztažnosti αp je definován vztahem
Uvažujeme-li ideální plyn, potom platí
pro αp dostaneme
Pro koeficient objemové stlačitelnosti κT platí obecně výraz
Pro případ ideálního plynu (Vm = RT/p, (∂Vm/∂p)T = −RT/p2) je
b) Použijeme výraz odvozený pro ideální plyn, dosadíme hodnotu koeficientu stlačitelnosti pro benzen uvedenou v zadání příkladu a vypočítáme hledaný tlak
c) Z definice koeficientu stlačitelnosti vyplývá
Přejdeme-li od molárního objemu k hustotě (ϱ = M/Vm, dVm = −(M/ϱ2)dϱ), získáme modifikaci posledně uvedené diferenciální rovnice ve tvaru
Integrací této rovnice od p0 = 0,1 MPa, ϱ0 = 0,8734 g/cm3 do tlaku p = 10 MPa a hustoty ϱ za předpokladu, že κT ≠ f(p) získáme vztah
a po dosazení zadaných hodnot dostaneme
a
