2.1.8 * Výpočet kritického kompresibilitního faktoru

2 Reálné chování tekutin 2.1 Reálné plyny a kapaliny

2.1.7 Výpočet tlaku plynu ze stavových ... 2.1.9 Výpočet tlaku z van der Waalsovy ...

2.1.8 * Výpočet kritického kompresibilitního faktoru

Vypočtěte hodnotu kompresibilitního faktoru v kritickém bodu pro plyn řídící se viriální rovnicí p = RT/V_m+B/V_m²+C/V_m³. Získanou hodnotu srovnejte s výsledkem podle van der Waalsovy rovnice.

↓

↓

↓

↓

↓

↓

↓

↓

↓

↓

↓

↓

↓

Výsledek
Postup
Maple

Výsledek

z_c = 1/3 = 0,33333, pro van der Waalsovu rovnici z = 3/8 = 0,375

Postup

V kritickém bodě jsou první dvě derivace tlaku podle objemu rovny nule. Vyřešte takto vzniklou soustavu dvou rovnic pro neznáme B a C (respektive a a b pro van der Waalsovu rovnici) a vypočtěte hodnotu kompresibilitního faktoru pro T = T_c,V_m = V_m,c.

Maple

> restart;

Definujeme navrženou stavovou rovnici

> p:=R*T/Vm+B/Vm^2+C/Vm^3;

a vyjádříme z ní první a druhou derivaci

> der1:=diff(p,Vm);

> der2:=diff(p,Vm,Vm);

V kritickém bodě jsou obě derivace rovny nule

> rov1:=subs(T=Tc,Vm=Vc,der1)=0;

> rov2:=subs(T=Tc,Vm=Vc,der2)=0;

Vyřešíme tuto soustavy rovnic pro neznáme konstanty B a C

> solve({rov1,rov2},{B,C});

> assign(%);

V kritickém bodě vypočteme hodnotu kompresibilitního faktoru

> zc:=subs(T=Tc,Vm=Vc,p*Vm/(R*T));

> evalf(zc);

Výpočet pro van der Waalsovu rovnici je obdobný

> restart;

> p:=R*T/(Vm-b)-a/Vm^2;

Pro určení konstant nejprve vypočteme první dvě derivace tlaku podle objemu

> d1:=diff(p,Vm);

> d2:=diff(d1,Vm);

V kritickém bodě platí následující tři rovnice: 1. a 2. derivace jsou nulové a tlak je roven kritickému tlaku

> r1:=subs(Vm=Vc,T=Tc,d1=0);

> r2:=subs(Vm=Vc,T=Tc,d2=0);

> r3:=subs(Vm=Vc,T=Tc,p=pc);

Konstanty stavové rovnice a kritický objem dostaneme řešením soustavy předchozích tří rovnic

> reseni:=solve({r1,r2,r3},{a,b,Vc});

a provedeme tedy jejich dosazení

> assign(reseni);

> zc:=subs(T=Tc,Vm=Vc,p*Vm/(R*T));

> evalf(zc);

>