| # | Název | Zadání | Obtížnost |
|---|
| v01 | Disociace jódu | Vypočtěte disociační stupeň plynného jódu (I2 → 2 I) při teplotách T = 1000 K a T = 2000 K a tlaku p = 1 atm na základě uvedených dat a hodnot základních konstant. Srovnejte s experimentem (2.8% při 1000 K a 89.5% při 2000 K). - vlnočet fundamentální vibrace I2: ν̃ = 214.6 cm−1
- disociační energie I2 (při 0 K): Edis = 1.54 eV
- mezijaderná vzdálenost v molekule I2: l = 2.666 Å
- základní stav atomu jódu: 2P3/2
- první excitovaný stav atomu jódu: 2P1/2, vlnočet přechodu na základní stav je ν̃ = 7603 cm−1
| 3V |
| v02 | Tepelná kapacita vodní páry | Zjistěte v literatuře vibrační frekvence molekuly vody a vypočtěte tepelnou kapacitu vodní páry v rozsahu 100–1000 °C. Srovnejte s experimentem. | 1V |
| v03 | Var NaCl | NaCl se vaří při teplotě 1738 K. Odhadněte, kolik % iontů obsahuje pára NaCl. Můžete provést buď teoretický výpočet rovnováhy NaCl → Na+ + Cl− (na základě výpočtu dimeru pomocí kvantové mechaniky nebo pomocí vhodného silového pole, např. Joung, Cheatham) nebo simulaci (silové pole a software dodám) nebo obojí. | 3V |
| v04 | Ionizace helia v atmosféře hvězdy | Atmosféra hvězdy obsahuje 10 % He, zbytek je vodík. Najděte v literatuře ionizační potenciál He a na jeho základě vypočtěte, v jaké oblasti teplot a tlaků (nakreslete oblast v p–T diagramu) je hélium ionizováno z více než 10 %. | 3V |
| v05 | Para- a ortho-vodík | Vodík se skládá z para-vodíku (antiparalelní jaderné spiny, singlet) a ortho-vodíku (paralelní jaderné spiny, triplet). Za dané teploty jsou obě formy v rovnováze, která se však bez katalyzátoru ustavuje velmi pomalu (dny). Seznamte se se statistickou mechanikou obou forem vodíku a vypočtěte, kolik vodíku by se vypařilo z čerstvě zkapalněného vodíku (počáteční teplota 25 °C), kdybychom nepoužili katalyzátor. K výpočtu použijte z experimentálních údajů pouze geometrii molekuly a výparnou entalpii vodíku. Diskutujte použité zjednodušující předpoklady; za účelem diskuse spočtěte též rozdíl energií dvou klasických magnetických momentů protonu ve vzdálenosti rovné délce vazby H2 v paralelním a antiparalelním uspořádání (v jednotkách J/mol). | 2V |
| v06 | Počítá to Gaussian dobře? | Vyberte si vhodnou dostatečně jednoduchou molekulu (voda, methan, amoniak, oxid uhličitý), spočtěte libovolnou metodou její optimální geometrii a frekvence vibrací. Na základě statistické termodynamiky vypočtěte pro vhodnou zvolenou teplotu translační, rotační a vibrační partiční funkce a nakonec termodynamické potenciály v ideální plynné fázi za standardního tlaku: entropii, entalpii, Gibbsovu energii. Srovnejte s hodnotami spočítanými Gaussianem. | 3VG |
| v07 | Rovnovážná konstanta syntézy NH3 | Vypočtěte rovnovážnou konstantu syntézy amoniaku
N2 + 3 H2 → 2 NH3
za teploty 1000 K a standardního tlaku 101325 Pa. K výpočtu vlastností molekul (geometrie, vibrace) použijte program Gaussian, je však zakázáno použít přímo vypočtenou hodnotu Gibbsovy energie k jiným než kontrolním účelům. Můžete spolupracovat s řešitelem předchozí úlohy. | 4VG |
| s01 | 2D kontaktní úhel | Stanovte pro 2D kapalinu implementovanou v SIMOLANTu kontaktní úhel na přitažlivé stěně v závislosti na (rovnoměrné) hustotě materiálu stěny (rho). Stanovte hustotu, kdy dojde k rozestírání, a porovnejte s rovnovážnou hustotou kapaliny. (Návod) | 2S |
| s02 | 2D kapalina ve štěrbině | Stanovte pro 2D kapalinu implementovanou v SIMOLANTu povrchové napětí a mezifázové napětí kapalina–zeď (vyzkoušejte přitažlivou i odpudivou zeď) alespoň za dvou teplot. Zobrazte a okomentujte hustotní profily. (Návod) | 2S |
| s03 | Kelvinova rovnice ve 2D | Stanovte pro 2D kapalinu implementovanou v SIMOLANTu povrchové napětí a tlak nasycených par jak nad rovinným rozhraním, tak nad kapkou i v kavitě („bublině“). Ověřte platnost 2D verze Kelvinovy rovnice. Zobrazte a okomenujte radiální hustotní profil kapky/kavity. (Návod). | 3S |
| s04 | P–V diagram 2D tekutiny a kritický bod | Nasimulujte několik podkritických izoterem a rovnováhu kapalina–pára a pokuste se určit polohu kritického bodu pro 2D systém implementovaný v SIMOLANTu. (Návod) | 3S |
| s05 | Drcení 2D krystalu. | Pro 2D systém implementovaný v SIMOLANTu stanovte aktivační energii posunu krystalových vrstev. (Návod) | 3S |
| s06 | Druhý viriálový koeficient. | Pro 2D systém implementovaný v SIMOLANTu stanovte druhý viriálový koeficent pro několik teplot „pseudoexperimentálně“ z tlaku (resp. ze Z) a srovnejte s přímým výpočtem. (Návod) | 2S |
| s07 | Aktivační energie difuze. | Pro 2D systém implementovaný v SIMOLANTu stanovte MSD a difuzivitu pro několik teplot a z Arrheniova diagramu vypočtěte aktivační energii. (Návod) | 2S |
| s08 | Soft penetrable disks. | Penetrable spheres je jednoduchý model entropické repulze v koloidní chemii. Vysvětlete, co je to entropická repulze a jak se chová řetězec polymeru v dobrém rozpouštědle. Popište vlastnosti (fáze, strukturu) 2D analogie „propustných disků“ implementované v SIMOLANTu. (Několik tipů) | 3S |
| s09 | Střední kvadratické posunutí. | Střední kvadratické posunutí (Mean Square Displacement) částice je definováno vztahem MSD(t)=⟨[r(0)−r(t)]²⟩. Pro 2D systém stanovte vlastnosti MSD v různých skupenstvích a geometrii. (Několik tipů) | 1S |
| s10 | Kvazikrystaly. |  Seznamte nás s pojmem kvazikrystal a Penroseovo dláždění (Penrose tiling). Pokuste se získat tuto strukturu v simulaci potenciálu se dvěma minimy implemenovanou v SIMOLANTu (autor této úlohy neví, zda to jde). (Několik tipů) | ?S |
| s11 | Koalescence kapek. | Studujte změnu teploty po koalescenci dvou kapek a srovnejte s teoretickým výpočtem z povrchového napětí a tepelné kapacity. (Návod) | 4S |
| s12 | Vicsekův model. |  Vicsekův model je modelem hejna ptáků nebo ryb. Stanovte fázový diagram Vicsekova modelu v souřadnicích hustota (ρ) a parametr Lagevinova termostatu (τ) (případně lze hýbat i teplotou T a dosahem potenciálu c). | 3S |
| s20 | Bod varu NaCl | Stanovte bod varu NaCl za zvýšeného tlaku přímou metodou – kapalina a pára v rovnováze. Systém musí být větší (aspoň Na256Cl256). Zjistěte alespoň kvalitativně, zda v parách NaCl jsou volné ionty, molekuly NaCl nebo větší klastry a pokuste se strukturu par vysvětlit. (Návod) | 5M |
| s21 | Clapeyronova rovnice | Vypočtěte entalpii tání modelu NaCl a bod tání pro (alespoň) dva různé tlaky a porovnejte s predikcí pomocí Clapeyronovy rovnice. (Návod / data) | 4M |
| s22 | Rovnovážný tvar krystalu | Stanovte metodou simulated annealing (velmi pomalé chlazení) rovnovážný tvar krystalku Na32Cl32 za volných (vakuových) okrajových podmínek. Vznikne pravidelný krystal 4×4×4? Přidejte pojednání o závislosti rovnovážného tvaru krystalu na mezifázovém napětí (Wulffova konstrukce). (Návod) | 2M |
| s23 | Rayleighova nestabilita | Padající čúrek vody se rozpadá na kapky. Nejprve si najděte v literatuře teorii tohoto jevu. Simulujte tento jev pomocí dlouhého válce kapalného argonu (případně vody – další informace na požádání). Vzniknou kapky o teoreticky předpovězené velikosti? Češi: je správně čůrek nebo čúrek? Cizinci: jak se řekne čúrek ve vašem rodném jazyce? (Návod) | 2M |
| s24 | Konstrukce silového pole | Nastavte parametry modelu iontů Na+ a Cl− tak, aby popisovaly dobře jak krystal NaCl tak taveninu. Velikost iontů (σ nebo RvdW) nastavíte podle nalezené experimentální hustoty, hloubku potenciálové jámy (nebo Emin) podle výparné entalpie, poměr velikostí obou iontů ovlivňuje stabilitu krystalu (bod tání). (Konzultace doporučená.) | 5M |
| s25 | Bod tání ledů | Stanovte bod tání hexagonálního (Ih) nebo kubického (Ic) ledu přímou metodou. Použijte model vody TIP4P/2005 (případně OPC nebo Nada–Eerden – více informací na požádání). K dispozici budete mít i krystal ledu s náhodnou orientací protonů. Přidejte stručné pojednání o polymorfismu ledu.(Návod.) | 4M |
| s26 | Sbalování proteinů | Nalezněte v literatuře, která aminokyselina nejsnáze tvoří α-helix, vytvořte oligomer ve vhodném silovém poli a zkuste, zda dostanete α-helix spontánním složením ve vakuu či ve vodném prostředí. Blízkost struktury k α-helixu posuďte podle Ramachandranova diagramu. (Návod) | 4M 4Gr |
| s27 | Rozbalování proteinů | Stáhněte z PDB databáze vhodný menší protein bez disulfidických vazeb, nastavte nábojové stavy aminokyselin podle zvoleného pH nebo doplňte protionty, simulujte ve vodném prostředí a stanovte, zda struktura denaturuje za teploty těla a za teploty 100 °C. Vhodné pro jedince se zkušenostmi se simulacemi biomolekul a znalostí Gromacsu. | 4Gr |
| s28 | Kulová hvězdokupa | Kulová hvězdokupa s dostatečným množstvím hvězd je metastabilní útvar pomalu se „vypařující“ do prostoru. Simulujte hvězdokupu složenou z cca 200–400 hvězd o hmotnosti rovné hmotnosti Slunce v oblasti o velikosti řádově jednotky parseků. Verzi MD programu s opačným znaménkem interakce „nábojů“ dostanete na požádání, můžete si ho také sami napsat. Dokážete získat útvar dostatečně stabilní alespoň stovek milionů let? Přidejte výklad o aplikaci věty o viriálu na rovnováhu klastru. Literatura: V. Vanýsek: Základy astronomie a astrofyziky, Academia, Praha (1980). (Návod) | 5M |
| s29 | Chladniho obrazce | Studujte vibrace plátků grafenu. Vizualizujte tak, aby byly vidět uzlové křivky. Přišroubujte na podstavec rezonanční desku tvaru šestiúhelníku a za pomoci smyčce a prášku nám předveďte Chladniho obrazce; pokud se Vám reálný experiment nepovede, spokojíme se i s nějakým pěkným videem z YouTube. Můžete si také půjčit zařízení vyrobené generacemi studentů v místnosti A402. Vysvětlete souvislosti. Na závěr přidejte několik zajímavostí o grafenu. (Návod) | 2M |
| s30 | Elektroforéza | Simulujte atom Xe ve vodním roztoku LiI, ve kterém teče elektrický proud. Může být atom Xe unášen? (Návod / data, vyžaduje delší běhy) | 4M |
| s31 | Struktura povrchového filmu | Simulujte povrchově aktivní látku (oktanol) na povrchu vody ve slab geometrii. Vhodné silové pole (TraPPE-UA pro alkohol a SPC pro vodu) dostanete na požádání. Měňte pokrytí resp. velikost plochy a všímejte si struktury povrchového filmu (2D plyn, kapalina, krystal). Srovnejte s experimentem. (Konzultace doporučená.) | 4M |
| s32 | Rovnováha kapalina–pára | Stanovte rovnovážný diagram kapalina–pára (modelů) ethanolu (TraPPE-UA) a vody (SPC) za teploty 450 K pomocí simulace vrstvy kapaliny a páry nad kapalinou. (Návod / data, vyžaduje delší běhy) | 4M |
| s33 | Klastry zlata | Vytvořte krystalky zlata ve tvaru dvacetistěnu. Simulujte s potenciálem typu tight-binding. Studujte hustotu ve středu krystalku za nulové teploty v závislosti na počtu atomů. Opakujte podobný pseudoexperiment s argonem; rozdíly vysvětlete. (Volitelné: Zkuste krystalek roztavit a pomalu zchladit – zkrystalizuje opět?) Literatura: J. Chem. Phys. 122, 214722 (2005). (Návod / data) | 3M |
| s34 | Simulovaná ničička | Připravte krystalek ledu v modelu TIP4P/2005 za nízké teploty. Odhadněte rychlost, při které je kinetická energie rovna energii potřebné k roztavení ledíků. Dva ledíky nechte danou rychlostí srazit. Vyzkoušejte nižší i vyšší rychlosti. Při jaké rychlosti začnou odletovat fragmenty resp. jednotlivé molekuly? Jako bonus se můžete zmínit o vaší oblíbené filmové ničičce. (Návod) | 3M |
| s35 | Koalescence kapek | Pokud splynou dvě makroskopické kapky vody, teplota se prakticky nezmění. U velmi malých kapek to však neplatí. Vypočtěte změnu teploty po splynutí dvou kapek vody po 250 molekulách. Simulujte ten samý jev s modelem SPC/E. (Návod) | 3M |
| s36 | Rozdíl tepelných kapacit | Simulujte vodu (např. model SPC/E) za běžných podmínek za konstantního tlaku a objemu a stanovte rozdíl tepelných kapacit Cpm−CVm jednak přímo (ze simulace při aspoň dvou teplotách v příslušném souboru), jednak ze stavové rovnice (vyberte vhodnou verzi a opět stanovte derivace numericky z několika simulací). Porovnejte s reálným experimentem. Která metoda je přesnější? (Konzultace doporučená.) | 5M |
| s37 | Kapka v elektrickém poli | Simulujte kapku SPC/E vody v silném elektrickém poli. Jak se změní tvar kapky? (Viz též DOI:10.1021/ie404268f a úloha 122.) (Návod) | 3M |
| s38 | Je 'Oumuamua mimozemský kosmický koráb? | Simulujte rotaci podlouhlého tuhého tělesa (kousek diamantu) ve vakuu a stanovte závislost plochy pozorované z jednoho směru na čase. Vyzkoušejte různé počáteční podmínky. Dostanete křivky podobné naměřeným křivkám jasu 'Oumuamuy na čase? (Návod) | 3M |
| s39 | Var modelu vody | Simulujte metodou MD ve slab geometrii vodu TIP4P/2005 (model dodám) s párou za teploty 200 °C a stanovte rovnovážné hustoty a tlak. (Návod) | 3M |
| s40 | Solanka a Debyeova–Hückeova teorie | Simulujte metodou MD zředěný roztok NaCl ve vodě. Zobrazte radiální distribuční funkce Na–Na, Na–Cl a Cl–Cl a diskutujte výsledky. Z koordinačních čísel (vč. H a O i bez) vypočtěte průměrný náboj v kouli o poloměru r okolo iontu a srovnejte s predikcí podle Debyeovy–Hückeovy teorie. (Návod) | 4M |
| s41 | Elektrospinning | Simulujte vrstvu SPC/E vody v silném elektrickém poli a pozorujte vznik Taylorova kužele a vlákna (DOI:10.1021/ie404268f, viz též úloha 118). (Návod) | 3M |
| s42 | Madelungova konstanta | Stanovte Madelungovu konstantu několika iontových krystalů (např. NaCl, CsCl, ZnS, CaF2) metodou Ewaldovy sumace. Konzultace (Jiří Kolafa) je doporučená. | 5M |
| s43 | Voda a solanka v mikrovlnce | Simulujte vodu (SPC/E) a solanku (model JC) v elektrickém poli o frekvenci 2.45 GHz a stanovte rychlost zahřívání. Můžete provést i reálný experiment. Konzultace (Jiří Kolafa) je doporučená. | 5M |
| s44 | Tepelná roztažnost krystalu a skla | Vypočtěte koeficient objemové tepelné roztažnosti fcc krystalu modelu argonu. Roztavte a rychle ochlaďte, aby vzniklo sklo, a výpočet opakujte. Konzultace (Jiří Kolafa) je doporučená. | 4M |
| s45 | Poissonova konstanta zlata a pevnost zlata v tahu | Na fcc krystal modelu zlata v periodických okrajových podmínkách aplikujte různý tlak/tah v různých směrech, spočtěte Poissonovu konstantu a srovnejte s experimentem. Postupně zvyšujte tah a stanovte mez pevnosti. Konzultace (Jiří Kolafa) je doporučená. | 5M |
| s46 | Stabilita nabitých klastrů vody s ionty | Připravte klastr cca 100 molekul vody ve vakuu a ochlaďte. Vyměňte pravidelně blízko povrchu několik molekul za ion (např. Na+), nejprve silně chlaďte a pak pomalu ohřívejte. Při jakém náboji se klastr rozletí (Coulombova nestabilita)? Konzultace (Jiří Kolafa) je doporučená. | 5M |
| p01 | Monte Carlo tuhých koulí | Simulujte metodou MC tekutinu tuhých koulí v periodických okrajových podmínkách. Pro číselné hustoty 0.4 a 0.8 a aspoň 100 koulí vypočtěte a zobrazte radiální distribuční funkci. | 3P |
| p02 | Isingův model ve 3D | Napište program pro MC simulaci Isingova feromagnetu na kubické mřížce v periodických okrajových podmínkách. Monitorujte energii a celkovou magnetizaci (=součet všech spinů). Proveďte termální cyklus: pomalý ohřev z nízké teploty na vysokou a zpátky. Všimněte si hystereze. Podaří se vám odhadnout teplotu a druh fázového přechodu? | 5P |
| p03 | Entropická pružina | Simulujte MC metodou zvanou „reptation“ řetízek N atomů s pevnými délkami vazeb. Mezi atomy není (kromě pevných vazeb) žádná interakce. Koncové body jsou však natahovány stejně velkými opačně orientovanými silami ve směru osy x. Stanovte závislost „výchylky pružiny“ ⟨x1 − xN⟩ na síle. | 3P |
| p04 | Simulated annealing | Pracujete v e-shopu, kde stříháte řetízky na kousky různé délky podle požadavků zákazníků. Řetízky máte na rolích o délce 10 m. Každý den dostanete seznam požadavků zákazníků. Napište počítačový program metodou simulovaného žíhání, který navrhne stříhání řetízků na kousky tak, aby se spotřebovalo co nejméně rolí (zbytek z role, který je kratší než nejkratší požadavek, je odpad). - Navrhněte vhodnou hodnotící funkci („interakční energii“) U.
- Navrhněte MC metodu; jeden zkušební krok může být přesun kousku z jedné role na druhou.
- Simulujte za snižující se „teploty“.
| 3P |
| p05 | Problém obchodního cestujícího | Nechť je dána mapa obsahující N měst. Některá města jsou spojena silnicí o známé délce. Pro každá dvě města existuje alespoň jedna cesta po silnici, která je spojuje; těchto cest může být více, přičemž (v této verzi problému obchodního cestujícího) není předem známo, která je nejkratší. Najděte co nejkratší uzavřenou cestu procházející alespoň jednou každým městem.- „Konfigurace“ je tedy posloupnost N nebo více měst, „energie“ je délka trasy.
- Abychom se vyhnuli zachovávání podmínky, že dva sousedící členy posloupnosti musí být spojeny silnicí, můžeme říci, že nejsou-li dvě města spojena, je jejich vzdálenost rovna součtu všech vzdáleností na mapě.
- Zkušební kroky MC simulace musí dovolit i změnu počtu měst na trase (některými městy projdeme vícekrát).
- Jako počáteční „konfiguraci“ zvolte N-tici (1, 2, ..., N).
- Simulujte za snižující se „teploty“.
| 4P |
| p06 | Lagrangeovy body | Lagrangeovy librační body v soustavě Slunce–planeta jsou body, v nichž se malé těleso pohybuje synchronně s obíháním planety. Stabilní body L4 a L5 leží ve vrcholech rovnostranného trojúhelníka se základnou Slunce-planeta.
Napište program pro integraci pohybových rovnic tří těles. Počáteční podmínky zvolte tak, aby planeta obíhala okolo Slunce po kruhové dráze. Těleso o nepatrné hmotnosti umístěte do těsné blízkosti L4 nebo L5 tak, aby obíhalo (téměř) synchronně. Kontrolujte, zda jsou integrály pohybu konstantní. Zkuste vyjít z bodů L1, L2, L3 nebo z náhodného bodu. | 4P |
| p07 | Dopravní zácpa | Simulujte chování aut na silnici za hustého provozu. Předpokládejte, že volné auto se pohybuje rovnoměrně zrychleně (např. 2 m/s2), dokud nedosáhne maximální rychlosti (např. 36 m/s). Pokud řidič uvidí před sebou jiné auto, začne zpomalovat. Bezpečná vzdálenost přitom závisí na rychlosti (např. dráha, kterou auto ujede za 1 s). Zpomalení by mělo záviset i na vzdálenosti (při velmi malé vzdálenosti řidič musí dupnout na brzdu). Celý model by měl obsahovat i prvek náhody (mírně různá zpomalení či zrychlení, různá bezpečná vzdálenost různých řidičů ap.).
Celou simulaci proveďte v periodických podmínkách (okruh) s tím, že na začátku auta stojí.
Při vhodném nastavení parametrů dojde ke vzniku kolon. Místo zácpy se pohybuje opačným směrem než auta. | 4P |
| p08 | Evoluce barevného vidění | Samci amerických opic nerozlišují červenou a zelenou barvu, dvě třetiny samic ano. Toto je důsledkem existence tří alel (označme je A,B,C) pro pigmenty s mírně posunutou spektrální citlivostí. Gen sídlí na pohlavním chromozomu X, který mají samci jen jeden, a proto nemohou červenou a zelenou rozlišit. U samic se sejdou alely dvě; pokud jsou různé, vidí opice barvy, pokud stejné, jsou na tom jako samci. V populaci je všech tří alel stejně – musí tedy existovat mechanismus, který toto rovnoměrné zastoupení udržuje, protože v případě zcela náhodné dědičnosti časem jedna či dvě alely vymizí. Vidět barevně je určitá evoluční výhoda, lze snáze rozlišit různě barevné ovoce. Např. ale barvovidící opice typu AB může mít se samcem A barvoslepého potomka AA, mechanismus udržující rovnoměrné zastoupení alel je tedy jemnější. Viz Vesmír 91, 195 (2012) a Scientific American 4, 40 (2009).
Simulujte tento problém na populaci (alespoň) 10000 opic (5000 samců a 5000 samic) s počátečním zastoupením alel v poměru 2 % A, 49 % B a 49 % C (rozdělte do obou X chromozomů samice a jednoho X samce náhodně). V jedné generaci proveďte náhodné spáření samců se samicemi a narození jednoho potomka. Aby počet opic nerostl, vyhubte vždy 5000 nejstarších opic tak, aby jich zbylo 10000. Tady je však nutno zavést mírnou selekci, např. tak, že barvoslepé opice s určitou pravděpodobností (cca 1 %) zahynou hlady a/nebo nemohou mít potomka. | 3P |
| p09 | Difuzně řízená agregace |  Uvažujte následující model vzniku dendrimerů při elektrolýze. Použít můžete buď 2D nebo 3D prostor a jak pohyb po mřížce (čtvercové nebo hexagonální) tak spojitý popis polohy iontů. Na začátku máte určitý počet (N) iontů, např. rozmístěných náhodně v kruhu, kouli, čtverci aj. Uprostřed máte jeden atom (elektrodu). V jednom kroku simulace každý ion provede Brownův pohyb (difuzi) v náhodném směru a s určitou (poměrně malou) pravděpodobností pohyb směrem k elektrodě. V případě dotyku s elektrodou se „vybije“ a usadí a stane se součástí elektrody. Dále stanovte gyrační poloměr Rg takového dendrimeru, opakujte pro větší množství iontů a z grafu log(N) vs log(Rg) stanovte fraktální dimenzi. | 3P |
| p10 | Požár pralesa (buněčný automat) | Uvažujte „les“ na čtvercové mřížce v periodických okrajových podmínkách. Každý vrchol mřížky se může nacházet ve třech stavech: {živý strom, hořící strom, spáleniště}. Nová konfigurace se generuje z předchozí podle pravidel:- Má-li živý strom alespoň jednoho hořícího souseda (ze 4 sousedů), pak vzplane.
- Hořící strom shoří (v následující konfiguraci se změní ve spáleniště).
- Na spáleništi vyroste nový strom s pravděpodobností p.
Vyjděte z konfigurace náhodně rozmístěnými stromy a spáleništi v poměru 1:1 a s několika hořícími stromy. Vhodné p je několik %. | 2P |
| p11 | Optimalizace MC | Stanovte optimální zlomek přijatých posunutí pro simulaci atomu dusíku v tíhovém poli za teploty T = 300 K vzhledem k veličině průměrná výška molekuly, ⟨h⟩. K tomu musíte kromě veličiny ⟨h⟩ stanovit i její chybu vhodnou metodou (např. blokováním) a simulovat pro různá posunutí. | 3P |
| p12 | Původ nerovnosti mezi lidmi | Uvažujte 1000 lidí, z nichž má každý na začátku 1000 $. Jeden krok simulace nechť je:- Vyber náhodně pár lidí a zjisti, kdo je chudší a kdo bohatší.
- Hoď mincí.
- Padne-li hlava, chudší zaplatí bohatšímu 20 % svého majetku (jeho majetek bude 80 % původní hodnoty); padne-li orel, dostane chudší od bohatšího 25 % svého majetku (jeho majetek bude 125 % původní hodnoty).
To vypadá spravedlivě, protože chudší z dvojice s pravděpodobností 50 % svůj majetek zvětší (o 25 %), s pravděpodobností 50 % zmenší, ale jen o 20 %. Proveďte mnoho kroků simulace a seřaďte jmění podle velikosti, nakreslete graf (příp. spočtěte Giniho koeficient) a vysvětlete výsledky. Zkuste měnit konstanty 25 % a 20 %. Můžete zkusit „přerozdělení“ – třeba tak, že se po nějakém počtu kroků všichni s majetkem M > 10 $ zaplatí daň (M−10 $)*0.1 do státní pokladny, která tyto peníze rozdělí.
B.M. Boghosian: The Inescapable Casino, Scientific American 321, 62 (Nov. 2019) | 2P |
| p13 | Simulace epidemie | Uvažujte následující model, který zhruba popisuje šíření epidemie např. chřipky nebo covid-19 a který lze řešit metodou kinetického MC. Máme G skupin (měst), každá má N obyvatel. Obyvatel může být v jednom ze tří stavů: Vnímavý (zdravý ale bez imunity), Nemocný, Imunní. Na začátku je v populaci několik Nemocných. Každý den dojde k následujícím změnám: - Dojde k P párovým interakcím v rámci každého města. Setká-li se Nemocný s Vnímavým, Vnímavý onemocní.
- Dojde k X párovým interakcím mezi různými skupinami (městy) podle stejného pravidla.
- Nemocný se s pravděpodobností C (jako Cure) uzdraví a stane imunním. Alternativně můžete uvažovat délku nemoci D dní.
- Imunní s pravděpodobností F (jako Fade) ztratí imunitu (stane se Vnímavým), F < C; můžete též zkusit F = 0 (trvalá imunita).
Dostanete při vhodném nastavení parametrů opakující se epidemie? | 4P |
| p14 | Simulace hromadné obsluhy | Uloženka obsluhuje jednoho zákazníka jednu minutu, otevřeno má od 8 do 18 h, za tu dobu přijde 500 zákazníků. Zákazníci přicházejí zcela náhodně (rovnoměrné rozdělení) v průběhu celé otvírací doby. Není-li v Uložence volno, čekají ve frontě (mohou čekat i po zavírací době, ale další již nepřicházejí). Simulujte tento proces a stanovte průměrnou dobu čekání zákazníka a pravděpodobnost, že zákazník bude čekat déle než 5 minut. | 2P |
| p15 | Dvojité kyvadlo | Naprogramujte dvojité matematické kyvadlo, tj. hmotný bod zavěšený na hmotném bodu, který je zavěšený na závěsu. Použijte Verletovu metodu a algoritmus SHAKE pro zachování délek vazeb (iterujte do vysoké přesnosti, jinak se nebude zachovávat energie). Pro malé výchylky odvoďte vztah pro frekvence obou vlastních kmitů v závislosti na hmotnostech a délkách závěsů. Kdy bude pohyb periodický a kdy chaotický? Zkuste nastavit takové parametry, aby poměr frekvencí byl poměr zlatého řezu. Můžete ho i vyrobit. Jiné pěkné kyvadlo. | 4P |