Úlohy pro Statistickou termodynamiku, molekulové modelování a simulace

Platí pro letní semestr 2023/2024. Pokud není jaro 2024, nezapisujte se a řekněte mi, abych stránku aktualizoval.

Úlohy 501–599 si lze zvolit i pro předmět Počítačová chemie.

Zápočet bude udělen za zpracování a obhajobu projektu (max. 10 minut + 5 minut diskuse).
Projekt si vybírejte pomocí Google Sheets (neplatí pro Počítačovou chemii).
Kromě níže uvedených témat je možné po domluvě zpracovat i téma vlastní.
Zpracování (nemusí být formální protokol, stačí přiměřeně okomentovaný kód a výsledky) a/nebo prezentaci odevzdejte co nejdříve (abychom mohli doladit problémy), nejpozději však do 22 h před datem obhajoby e-mailem.
Obhajoby projektu budou po psaní písemky, zapisujte se na ně jako na zkoušku přes SIS.

# Název Zadání

151 Disociace jódu Vypočtěte disociační stupeň plynného jódu (I₂ → 2 I) při teplotách T = 1000 K a T = 2000 K a tlaku p = 1 atm na základě uvedených dat a hodnot základních konstant. Srovnejte s experimentem (2.8% při 1000 K a 89.5% při 2000 K).

vlnočet fundamentální vibrace I₂: ν̃ = 214.6 cm⁻¹

disociační energie I₂ (při 0 K): E_dis = 1.54 eV

mezijaderná vzdálenost v molekule I₂: l = 2.666 Å

základní stav atomu jódu: ²P_3/2

první excitovaný stav atomu jódu: ²P_1/2, vlnočet přechodu na základní stav je ν̃ = 7603 cm⁻¹

152 Tepelná kapacita vodní páry Zjistěte v literatuře vibrační frekvence molekuly vody a vypočtěte tepelnou kapacitu vodní páry v rozsahu 100–1000 °C. Srovnejte s experimentem.

153 Var NaCl NaCl se vaří při teplotě 1738 K. Odhadněte, kolik % iontů obsahuje pára NaCl. Můžete provést buď teoretický výpočet rovnováhy NaCl → Na⁺ + Cl⁻ (na základě výpočtu dimeru pomocí kvantové mechaniky nebo pomocí vhodného silového pole, např. Joung, Cheatham) nebo simulaci (silové pole a software dodám) nebo obojí.

154 Ionizace helia v atmosféře hvězdy Atmosféra hvězdy obsahuje 10 % He, zbytek je vodík. Najděte v literatuře ionizační potenciál He a na jeho základě vypočtěte, v jaké oblasti teplot a tlaků (nakreslete oblast v p–T diagramu) je hélium ionizováno z více než 10 %.

155 Para- a ortho-vodík Vodík se skládá z para-vodíku (antiparalelní jaderné spiny, singlet) a ortho-vodíku (paralelní jaderné spiny, triplet). Za dané teploty jsou obě formy v rovnováze, která se však bez katalyzátoru ustavuje velmi pomalu (dny). Seznamte se se statistickou mechanikou obou forem vodíku a vypočtěte, kolik vodíku by se vypařilo z čerstvě zkapalněného vodíku (počáteční teplota 25 °C), kdybychom nepoužili katalyzátor. K výpočtu použijte z experimentálních údajů pouze geometrii molekuly a výparnou entalpii vodíku. Diskutujte použité zjednodušující předpoklady; za účelem diskuse spočtěte též rozdíl energií dvou klasických magnetických momentů protonu ve vzdálenosti rovné délce vazby H₂ v paralelním a antiparalelním uspořádání (v jednotkách J/mol).

156 Počítá to Gaussian dobře? Vyberte si vhodnou dostatečně jednoduchou molekulu (voda, methan, amoniak, oxid uhličitý), spočtěte libovolnou metodou její optimální geometrii a frekvence vibrací. Na základě statistické termodynamiky vypočtěte pro vhodnou zvolenou teplotu translační, rotační a vibrační partiční funkce a nakonec termodynamické potenciály v ideální plynné fázi za standardního tlaku: entropii, entalpii, Gibbsovu energii. Srovnejte s hodnotami spočítanými Gaussianem.

157 Rovnovážná konstanta syntézy NH₃ (pracnější) Vypočtěte rovnovážnou konstantu syntézy amoniaku
N₂ + 3 H₂ → 2 NH₃
za teploty 1000 K a standardního tlaku 101325 Pa. K výpočtu vlastností molekul (geometrie, vibrace) použijte program Gaussian, je však zakázáno použít přímo vypočtenou hodnotu Gibbsovy energie k jiným než kontrolním účelům. Můžete spolupracovat s řešitelem předchozí úlohy.

501 Monte Carlo tuhých koulí Simulujte metodou MC tekutinu tuhých koulí v periodických okrajových podmínkách.

502 Isingův model ve 3D Napište program pro MC simulaci Isingova feromagnetu na kubické mřížce v periodických okrajových podmínkách. Monitorujte energii a celkovou magnetizaci (=součet všech spinů). Proveďte termální cyklus: pomalý ohřev z nízké teploty na vysokou a zpátky. Všimněte si hystereze. Podaří se vám odhadnout teplotu a druh fázového přechodu?

503 Entropická pružina Simulujte MC metodou zvanou „reptation“ řetízek N atomů s pevnými délkami vazeb. Mezi atomy není (kromě pevných vazeb) žádná interakce. Koncové body jsou však natahovány stejně velkými opačně orientovanými silami ve směru osy x. Stanovte závislost „výchylky pružiny“ ⟨x₁ − x_N⟩ na síle.

504 Simulated annealing Pracujete v e-shopu, kde stříháte řetízky na kousky různé délky podle požadavků zákazníků. Řetízky máte na rolích o délce 10 m. Každý den dostanete seznam požadavků zákazníků. Napište počítačový program metodou simulovaného žíhání, který navrhne stříhání řetízků na kousky tak, aby se spotřebovalo co nejméně rolí (zbytek z role, který je kratší než nejkratší požadavek, je odpad).
Navrhněte vhodnou hodnotící funkci („interakční energii“) U.
Navrhněte MC metodu; jeden zkušební krok může být přesun kousku z jedné role na druhou.
Simulujte za snižující se „teploty“.

505 Problém obchodního cestujícího Nechť je dána mapa obsahující N měst. Některá města jsou spojena silnicí o známé délce. Pro každá dvě města existuje alespoň jedna cesta po silnici, která je spojuje; těchto cest může být více, přičemž (v této verzi problému obchodního cestujícího) není předem známo, která je nejkratší. Najděte co nejkratší uzavřenou cestu procházející alespoň jednou každým městem.
„Konfigurace“ je tedy posloupnost N nebo více měst, „energie“ je délka trasy.
Abychom se vyhnuli zachovávání podmínky, že dva sousedící členy posloupnosti musí být spojeny silnicí, můžeme říci, že nejsou-li dvě města spojena, je jejich vzdálenost rovna součtu všech vzdáleností na mapě.
Zkušební kroky MC simulace musí dovolit i změnu počtu měst na trase (některými městy projdeme vícekrát).
Jako počáteční „konfiguraci“ zvolte N-tici (1, 2, ..., N).
Simulujte za snižující se „teploty“.

506 Lagrangeovy body Lagrangeovy librační body v soustavě Slunce–planeta jsou body, v nichž se malé těleso pohybuje synchronně s obíháním planety. Stabilní body L₄ a L₅ leží ve vrcholech rovnostranného trojúhelníka se základnou Slunce-planeta.
Napište program pro integraci pohybových rovnic tří těles. Počáteční podmínky zvolte tak, aby planeta obíhala okolo Slunce po kruhové dráze. Těleso o nepatrné hmotnosti umístěte do těsné blízkosti L₄ nebo L₅ tak, aby obíhalo (téměř) synchronně. Kontrolujte, zda jsou integrály pohybu konstantní. Zkuste vyjít z bodů L₁, L₂, L₃ nebo z náhodného bodu.

507 Dopravní zácpa Simulujte chování aut na silnici za hustého provozu. Předpokládejte, že volné auto se pohybuje rovnoměrně zrychleně (např. 2 m/s²), dokud nedosáhne maximální rychlosti (např. 36 m/s). Pokud řidič uvidí před sebou jiné auto, začne zpomalovat. Bezpečná vzdálenost přitom závisí na rychlosti (např. dráha, kterou auto ujede za 1 s). Zpomalení by mělo záviset i na vzdálenosti (při velmi malé vzdálenosti řidič musí dupnout na brzdu). Celý model by měl obsahovat i prvek náhody (mírně různá zpomalení či zrychlení, různá bezpečná vzdálenost různých řidičů ap.).
Celou simulaci proveďte v periodických podmínkách (okruh) s tím, že na začátku auta stojí.
Při vhodném nastavení parametrů dojde ke vzniku kolon. Místo zácpy se pohybuje opačným směrem než auta.

508 Evoluce barevného vidění Samci amerických opic nerozlišují červenou a zelenou barvu, dvě třetiny samic ano. Toto je důsledkem existence tří alel (označme je A,B,C) pro pigmenty s mírně posunutou spektrální citlivostí. Gen sídlí na pohlavním chromozomu X, který mají samci jen jeden, a proto nemohou červenou a zelenou rozlišit. U samic se sejdou alely dvě; pokud jsou různé, vidí opice barvy, pokud stejné, jsou na tom jako samci. V populaci je všech tří alel stejně – musí tedy existovat mechanismus, který toto rovnoměrné zastoupení udržuje, protože v případě zcela náhodné dědičnosti časem jedna či dvě alely vymizí. Vidět barevně je určitá evoluční výhoda, lze snáze rozlišit různě barevné ovoce. Např. ale barvovidící opice typu AB může mít se samcem A barvoslepého potomka AA, mechanismus udržující rovnoměrné zastoupení alel je tedy jemnější. Viz Vesmír 91, 195 (2012) a Scientific American 4, 40 (2009).

Simulujte tento problém na populaci (alespoň) 10000 opic (5000 samců a 5000 samic) s počátečním zastoupením alel v poměru 2 % A, 49 % B a 49 % C (rozdělte do obou X chromozomů samice a jednoho X samce náhodně). V jedné generaci proveďte náhodné spáření samců se samicemi a narození jednoho potomka. Aby počet opic nerostl, vyhubte vždy 5000 nejstarších opic tak, aby jich zbylo 10000. Tady je však nutno zavést mírnou selekci, např. tak, že barvoslepé opice s určitou pravděpodobností (cca 1 %) zahynou hlady a/nebo nemohou mít potomka.

509 Difuzně řízená agregace Uvažujte následující model vzniku dendrimerů při elektrolýze. Použít můžete buď 2D nebo 3D prostor a jak pohyb po mřížce (čtvercové nebo hexagonální) tak spojitý popis polohy iontů. Na začátku máte určitý počet (N) iontů, např. rozmístěných náhodně v kruhu, kouli, čtverci aj. Uprostřed máte jeden atom (elektrodu). V jednom kroku simulace každý ion provede Brownův pohyb (difuzi) v náhodném směru a s určitou (poměrně malou) pravděpodobností pohyb směrem k elektrodě. V případě dotyku s elektrodou se „vybije“ a usadí a stane se součástí elektrody. Dále stanovte gyrační poloměr R_g takového dendrimeru, opakujte pro větší množství iontů a z grafu log(N) vs log(R_g) stanovte fraktální dimenzi.

510 Požár pralesa Uvažujte „les“ na čtvercové mřížce v periodických okrajových podmínkách. Každý vrchol mřížky se může nacházet ve třech stavech: {živý strom, hořící strom, spáleniště}. Nová konfigurace se generuje z předchozí podle pravidel:
Má-li živý strom alespoň jednoho hořícího souseda (ze 4 sousedů), pak vzplane.
Hořící strom shoří (v následující konfiguraci se změní ve spáleniště).
Na spáleništi vyroste nový strom s pravděpodobností p.
Vyjděte z konfigurace náhodně rozmístěnými stromy a spáleništi v poměru 1:1 a s několika hořícími stromy. Vhodné p je několik %.

511 Optimalizace MC Stanovte optimální zlomek přijatých posunutí pro simulaci atomu dusíku v tíhovém poli za teploty T = 300 K vzhledem k veličině průměrná výška molekuly, ⟨h⟩. K tomu musíte kromě veličiny ⟨h⟩ stanovit i její chybu vhodnou metodou (např. blokováním) a simulovat pro různá posunutí.

512 Původ nerovnosti mezi lidmi Uvažujte 1000 lidí, z nichž má každý na začátku 1000 $. Jeden krok simulace nechť je:
Vyber náhodně pár lidí a zjisti, kdo je chudší a kdo bohatší.
Hoď mincí.
Padne-li hlava, chudší zaplatí bohatšímu 20 % svého majetku (jeho majetek bude 80 % původní hodnoty); padne-li orel, dostane chudší od bohatšího 25 % svého majetku (jeho majetek bude 125 % původní hodnoty).
To vypadá spravedlivě, protože chudší z dvojice s pravděpodobností 50 % svůj majetek zvětší (o 25 %), s pravděpodobností 50 % zmenší, ale jen o 20 %. Proveďte mnoho kroků simulace a seřaďte jmění podle velikosti, nakreslete graf (příp. spočtěte Giniho koeficient) a vysvětlete výsledky. Zkuste měnit konstanty 25 % a 20 %. Můžete zkusit „přerozdělení“ – třeba tak, že se po nějakém počtu kroků všichni s majetkem M > 10 $ zaplatí daň (M−10 $)*0.1 do státní pokladny, která tyto peníze rozdělí.
[B.M. Boghosian: The Inescapable Casino, Scientific American 321, 62 (November 2019)]

513 Simulace epidemie Uvažujte následující model, který alespoň částečně popisuje šíření epidemie např. chřipky nebo covid-19 a který lze řešit metodou kinetického MC. Máme G skupin (měst), každá má N obyvatel. Obyvatel může být v jednom ze tří stavů: Vnímavý (zdravý ale bez imunity), Nemocný, Imunní. Na začátku je v populaci několik Nemocných. Každý den dojde k následujícím změnám:
Dojde k P párovým interakcím v rámci každého města. Setká-li se Nemocný s Vnímavým, Vnímavý onemocní.
Dojde k X párovým interakcím mezi různými skupinami (městy) podle stejného pravidla.
Nemocný se s pravděpodobností C (jako Cure) uzdraví a stane imunním. Alternativně můžete uvažovat délku nemoci D dní.
Imunní s pravděpodobností F (jako Fade) ztratí imunitu (stane se Vnímavým), F < C; můžete též zkusit F = 0 (trvalá imunita).
Dostanete při vhodném nastavení parametrů opakující se epidemie?

514 Simulace hromadné obsluhy Uloženka obsluhuje jednoho zákazníka jednu minutu, otevřeno má od 8 do 18 h, za tu dobu přijde 500 zákazníků. Zákazníci přicházejí zcela náhodně (rovnoměrné rozdělení) v průběhu celé otvírací doby. Není-li v Uložence volno, čekají ve frontě (mohou čekat i po zavírací době, ale další již nepřicházejí). Simulujte tento proces a stanovte průměrnou dobu čekání zákazníka a pravděpodobnost, že zákazník bude čekat déle než 5 minut.

515 NEW Dvojité kyvadlo Naprogramujte dvojité matematické kyvadlo, tj. hmotný bod zavěšený na hmotném bodu, který je zavěšený na závěsu. Použijte Verletovu metodu a algoritmus SHAKE pro zachování délek vazeb (iterujte do vysoké přesnosti, jinak se nebude zachovávat energie). Pro malé výchylky odvoďte vztah pro frekvence obou vlastních kmitů v závislosti na hmotnostech a délkách závěsů. Kdy bude pohyb periodický a kdy chaotický? Zkuste nastavit takové parametry, aby poměr frekvencí byl poměr zlatého řezu. Můžete ho i vyrobit. Jiné pěkné kyvadlo.
515 TO DO Fermi–Pasta–Ulam–Tsingou problem Naprogramujte podle Wikipedie.

#	Název	Zadání
151	Disociace jódu	Vypočtěte disociační stupeň plynného jódu (I₂ → 2 I) při teplotách T = 1000 K a T = 2000 K a tlaku p = 1 atm na základě uvedených dat a hodnot základních konstant. Srovnejte s experimentem (2.8% při 1000 K a 89.5% při 2000 K). vlnočet fundamentální vibrace I₂: ν̃ = 214.6 cm⁻¹ disociační energie I₂ (při 0 K): E_dis = 1.54 eV mezijaderná vzdálenost v molekule I₂: l = 2.666 Å základní stav atomu jódu: ²P_3/2 první excitovaný stav atomu jódu: ²P_1/2, vlnočet přechodu na základní stav je ν̃ = 7603 cm⁻¹
152	Tepelná kapacita vodní páry	Zjistěte v literatuře vibrační frekvence molekuly vody a vypočtěte tepelnou kapacitu vodní páry v rozsahu 100–1000 °C. Srovnejte s experimentem.
153	Var NaCl	NaCl se vaří při teplotě 1738 K. Odhadněte, kolik % iontů obsahuje pára NaCl. Můžete provést buď teoretický výpočet rovnováhy NaCl → Na⁺ + Cl⁻ (na základě výpočtu dimeru pomocí kvantové mechaniky nebo pomocí vhodného silového pole, např. Joung, Cheatham) nebo simulaci (silové pole a software dodám) nebo obojí.
154	Ionizace helia v atmosféře hvězdy	Atmosféra hvězdy obsahuje 10 % He, zbytek je vodík. Najděte v literatuře ionizační potenciál He a na jeho základě vypočtěte, v jaké oblasti teplot a tlaků (nakreslete oblast v p–T diagramu) je hélium ionizováno z více než 10 %.
155	Para- a ortho-vodík	Vodík se skládá z para-vodíku (antiparalelní jaderné spiny, singlet) a ortho-vodíku (paralelní jaderné spiny, triplet). Za dané teploty jsou obě formy v rovnováze, která se však bez katalyzátoru ustavuje velmi pomalu (dny). Seznamte se se statistickou mechanikou obou forem vodíku a vypočtěte, kolik vodíku by se vypařilo z čerstvě zkapalněného vodíku (počáteční teplota 25 °C), kdybychom nepoužili katalyzátor. K výpočtu použijte z experimentálních údajů pouze geometrii molekuly a výparnou entalpii vodíku. Diskutujte použité zjednodušující předpoklady; za účelem diskuse spočtěte též rozdíl energií dvou klasických magnetických momentů protonu ve vzdálenosti rovné délce vazby H₂ v paralelním a antiparalelním uspořádání (v jednotkách J/mol).
156	Počítá to Gaussian dobře?	Vyberte si vhodnou dostatečně jednoduchou molekulu (voda, methan, amoniak, oxid uhličitý), spočtěte libovolnou metodou její optimální geometrii a frekvence vibrací. Na základě statistické termodynamiky vypočtěte pro vhodnou zvolenou teplotu translační, rotační a vibrační partiční funkce a nakonec termodynamické potenciály v ideální plynné fázi za standardního tlaku: entropii, entalpii, Gibbsovu energii. Srovnejte s hodnotami spočítanými Gaussianem.
157	Rovnovážná konstanta syntézy NH₃	(pracnější) Vypočtěte rovnovážnou konstantu syntézy amoniaku N₂ + 3 H₂ → 2 NH₃ za teploty 1000 K a standardního tlaku 101325 Pa. K výpočtu vlastností molekul (geometrie, vibrace) použijte program Gaussian, je však zakázáno použít přímo vypočtenou hodnotu Gibbsovy energie k jiným než kontrolním účelům. Můžete spolupracovat s řešitelem předchozí úlohy.
501	Monte Carlo tuhých koulí	Simulujte metodou MC tekutinu tuhých koulí v periodických okrajových podmínkách.
502	Isingův model ve 3D	Napište program pro MC simulaci Isingova feromagnetu na kubické mřížce v periodických okrajových podmínkách. Monitorujte energii a celkovou magnetizaci (=součet všech spinů). Proveďte termální cyklus: pomalý ohřev z nízké teploty na vysokou a zpátky. Všimněte si hystereze. Podaří se vám odhadnout teplotu a druh fázového přechodu?
503	Entropická pružina	Simulujte MC metodou zvanou „reptation“ řetízek N atomů s pevnými délkami vazeb. Mezi atomy není (kromě pevných vazeb) žádná interakce. Koncové body jsou však natahovány stejně velkými opačně orientovanými silami ve směru osy x. Stanovte závislost „výchylky pružiny“ ⟨x₁ − x_N⟩ na síle.
504	Simulated annealing	Pracujete v e-shopu, kde stříháte řetízky na kousky různé délky podle požadavků zákazníků. Řetízky máte na rolích o délce 10 m. Každý den dostanete seznam požadavků zákazníků. Napište počítačový program metodou simulovaného žíhání, který navrhne stříhání řetízků na kousky tak, aby se spotřebovalo co nejméně rolí (zbytek z role, který je kratší než nejkratší požadavek, je odpad). Navrhněte vhodnou hodnotící funkci („interakční energii“) U. Navrhněte MC metodu; jeden zkušební krok může být přesun kousku z jedné role na druhou. Simulujte za snižující se „teploty“.
505	Problém obchodního cestujícího	Nechť je dána mapa obsahující N měst. Některá města jsou spojena silnicí o známé délce. Pro každá dvě města existuje alespoň jedna cesta po silnici, která je spojuje; těchto cest může být více, přičemž (v této verzi problému obchodního cestujícího) není předem známo, která je nejkratší. Najděte co nejkratší uzavřenou cestu procházející alespoň jednou každým městem. „Konfigurace“ je tedy posloupnost N nebo více měst, „energie“ je délka trasy. Abychom se vyhnuli zachovávání podmínky, že dva sousedící členy posloupnosti musí být spojeny silnicí, můžeme říci, že nejsou-li dvě města spojena, je jejich vzdálenost rovna součtu všech vzdáleností na mapě. Zkušební kroky MC simulace musí dovolit i změnu počtu měst na trase (některými městy projdeme vícekrát). Jako počáteční „konfiguraci“ zvolte N-tici (1, 2, ..., N). Simulujte za snižující se „teploty“.
506	Lagrangeovy body	Lagrangeovy librační body v soustavě Slunce–planeta jsou body, v nichž se malé těleso pohybuje synchronně s obíháním planety. Stabilní body L₄ a L₅ leží ve vrcholech rovnostranného trojúhelníka se základnou Slunce-planeta. Napište program pro integraci pohybových rovnic tří těles. Počáteční podmínky zvolte tak, aby planeta obíhala okolo Slunce po kruhové dráze. Těleso o nepatrné hmotnosti umístěte do těsné blízkosti L₄ nebo L₅ tak, aby obíhalo (téměř) synchronně. Kontrolujte, zda jsou integrály pohybu konstantní. Zkuste vyjít z bodů L₁, L₂, L₃ nebo z náhodného bodu.
507	Dopravní zácpa	Simulujte chování aut na silnici za hustého provozu. Předpokládejte, že volné auto se pohybuje rovnoměrně zrychleně (např. 2 m/s²), dokud nedosáhne maximální rychlosti (např. 36 m/s). Pokud řidič uvidí před sebou jiné auto, začne zpomalovat. Bezpečná vzdálenost přitom závisí na rychlosti (např. dráha, kterou auto ujede za 1 s). Zpomalení by mělo záviset i na vzdálenosti (při velmi malé vzdálenosti řidič musí dupnout na brzdu). Celý model by měl obsahovat i prvek náhody (mírně různá zpomalení či zrychlení, různá bezpečná vzdálenost různých řidičů ap.). Celou simulaci proveďte v periodických podmínkách (okruh) s tím, že na začátku auta stojí. Při vhodném nastavení parametrů dojde ke vzniku kolon. Místo zácpy se pohybuje opačným směrem než auta.
508	Evoluce barevného vidění	Samci amerických opic nerozlišují červenou a zelenou barvu, dvě třetiny samic ano. Toto je důsledkem existence tří alel (označme je A,B,C) pro pigmenty s mírně posunutou spektrální citlivostí. Gen sídlí na pohlavním chromozomu X, který mají samci jen jeden, a proto nemohou červenou a zelenou rozlišit. U samic se sejdou alely dvě; pokud jsou různé, vidí opice barvy, pokud stejné, jsou na tom jako samci. V populaci je všech tří alel stejně – musí tedy existovat mechanismus, který toto rovnoměrné zastoupení udržuje, protože v případě zcela náhodné dědičnosti časem jedna či dvě alely vymizí. Vidět barevně je určitá evoluční výhoda, lze snáze rozlišit různě barevné ovoce. Např. ale barvovidící opice typu AB může mít se samcem A barvoslepého potomka AA, mechanismus udržující rovnoměrné zastoupení alel je tedy jemnější. Viz Vesmír 91, 195 (2012) a Scientific American 4, 40 (2009). Simulujte tento problém na populaci (alespoň) 10000 opic (5000 samců a 5000 samic) s počátečním zastoupením alel v poměru 2 % A, 49 % B a 49 % C (rozdělte do obou X chromozomů samice a jednoho X samce náhodně). V jedné generaci proveďte náhodné spáření samců se samicemi a narození jednoho potomka. Aby počet opic nerostl, vyhubte vždy 5000 nejstarších opic tak, aby jich zbylo 10000. Tady je však nutno zavést mírnou selekci, např. tak, že barvoslepé opice s určitou pravděpodobností (cca 1 %) zahynou hlady a/nebo nemohou mít potomka.
509	Difuzně řízená agregace	Uvažujte následující model vzniku dendrimerů při elektrolýze. Použít můžete buď 2D nebo 3D prostor a jak pohyb po mřížce (čtvercové nebo hexagonální) tak spojitý popis polohy iontů. Na začátku máte určitý počet (N) iontů, např. rozmístěných náhodně v kruhu, kouli, čtverci aj. Uprostřed máte jeden atom (elektrodu). V jednom kroku simulace každý ion provede Brownův pohyb (difuzi) v náhodném směru a s určitou (poměrně malou) pravděpodobností pohyb směrem k elektrodě. V případě dotyku s elektrodou se „vybije“ a usadí a stane se součástí elektrody. Dále stanovte gyrační poloměr R_g takového dendrimeru, opakujte pro větší množství iontů a z grafu log(N) vs log(R_g) stanovte fraktální dimenzi.
510	Požár pralesa	Uvažujte „les“ na čtvercové mřížce v periodických okrajových podmínkách. Každý vrchol mřížky se může nacházet ve třech stavech: {živý strom, hořící strom, spáleniště}. Nová konfigurace se generuje z předchozí podle pravidel: Má-li živý strom alespoň jednoho hořícího souseda (ze 4 sousedů), pak vzplane. Hořící strom shoří (v následující konfiguraci se změní ve spáleniště). Na spáleništi vyroste nový strom s pravděpodobností p. Vyjděte z konfigurace náhodně rozmístěnými stromy a spáleništi v poměru 1:1 a s několika hořícími stromy. Vhodné p je několik %.
511	Optimalizace MC	Stanovte optimální zlomek přijatých posunutí pro simulaci atomu dusíku v tíhovém poli za teploty T = 300 K vzhledem k veličině průměrná výška molekuly, ⟨h⟩. K tomu musíte kromě veličiny ⟨h⟩ stanovit i její chybu vhodnou metodou (např. blokováním) a simulovat pro různá posunutí.
512	Původ nerovnosti mezi lidmi	Uvažujte 1000 lidí, z nichž má každý na začátku 1000 $. Jeden krok simulace nechť je: Vyber náhodně pár lidí a zjisti, kdo je chudší a kdo bohatší. Hoď mincí. Padne-li hlava, chudší zaplatí bohatšímu 20 % svého majetku (jeho majetek bude 80 % původní hodnoty); padne-li orel, dostane chudší od bohatšího 25 % svého majetku (jeho majetek bude 125 % původní hodnoty). To vypadá spravedlivě, protože chudší z dvojice s pravděpodobností 50 % svůj majetek zvětší (o 25 %), s pravděpodobností 50 % zmenší, ale jen o 20 %. Proveďte mnoho kroků simulace a seřaďte jmění podle velikosti, nakreslete graf (příp. spočtěte Giniho koeficient) a vysvětlete výsledky. Zkuste měnit konstanty 25 % a 20 %. Můžete zkusit „přerozdělení“ – třeba tak, že se po nějakém počtu kroků všichni s majetkem M > 10 $ zaplatí daň (M−10 $)0.1 do státní pokladny, která tyto peníze rozdělí. [B.M. Boghosian: The Inescapable Casino, Scientific American* 321, 62 (November 2019)]
513	Simulace epidemie	Uvažujte následující model, který alespoň částečně popisuje šíření epidemie např. chřipky nebo covid-19 a který lze řešit metodou kinetického MC. Máme G skupin (měst), každá má N obyvatel. Obyvatel může být v jednom ze tří stavů: Vnímavý (zdravý ale bez imunity), Nemocný, Imunní. Na začátku je v populaci několik Nemocných. Každý den dojde k následujícím změnám: Dojde k P párovým interakcím v rámci každého města. Setká-li se Nemocný s Vnímavým, Vnímavý onemocní. Dojde k X párovým interakcím mezi různými skupinami (městy) podle stejného pravidla. Nemocný se s pravděpodobností C (jako Cure) uzdraví a stane imunním. Alternativně můžete uvažovat délku nemoci D dní. Imunní s pravděpodobností F (jako Fade) ztratí imunitu (stane se Vnímavým), F < C; můžete též zkusit F = 0 (trvalá imunita). Dostanete při vhodném nastavení parametrů opakující se epidemie?
514	Simulace hromadné obsluhy	Uloženka obsluhuje jednoho zákazníka jednu minutu, otevřeno má od 8 do 18 h, za tu dobu přijde 500 zákazníků. Zákazníci přicházejí zcela náhodně (rovnoměrné rozdělení) v průběhu celé otvírací doby. Není-li v Uložence volno, čekají ve frontě (mohou čekat i po zavírací době, ale další již nepřicházejí). Simulujte tento proces a stanovte průměrnou dobu čekání zákazníka a pravděpodobnost, že zákazník bude čekat déle než 5 minut.
515	NEW Dvojité kyvadlo	Naprogramujte dvojité matematické kyvadlo, tj. hmotný bod zavěšený na hmotném bodu, který je zavěšený na závěsu. Použijte Verletovu metodu a algoritmus SHAKE pro zachování délek vazeb (iterujte do vysoké přesnosti, jinak se nebude zachovávat energie). Pro malé výchylky odvoďte vztah pro frekvence obou vlastních kmitů v závislosti na hmotnostech a délkách závěsů. Kdy bude pohyb periodický a kdy chaotický? Zkuste nastavit takové parametry, aby poměr frekvencí byl poměr zlatého řezu. Můžete ho i vyrobit. Jiné pěkné kyvadlo.
515	TO DO Fermi–Pasta–Ulam–Tsingou problem	Naprogramujte podle Wikipedie.

Můžete si také zvolit simulační úlohu z předmětu Počítačová chemie, tj. úlohu s číslem 100–199 podle této stránky